Prinzip der kleinsten Wirkung
Das Prinzip der kleinsten Wirkung (eine Verallgemeinerung des Hamilton-Prinzips) ist ein Postulat mit grundlegender Bedeutung für viele Teilbereiche der Theoretischen Physik. Es wurde erstmals von Pierre-Louis Moreau de Maupertuis formuliert. Die korrektere Formulierung ist das Prinzip der stationären Wirkung, nach der das Wirkungsintegral stationär ist.
Formelle Definition
Das Prinzip besagt, dass für ein physikalisches System mit einer Lagrange-Funktion L das Wirkungsintegral
![S[q] = \int \, L \, dt](/thierry/wikipedia/mediawiki/../images/math/0b1f27c41ac2e3d45ba1da0111f8f855.png)
minimal (oder stationär) sein muss. Die Integration erfolgt dabei über einen festen Zeitbereich und für genau eine formell mögliche Realisierung des Systems, q genannt. Von allen möglichen Realisierungen q finden in der Natur nach dem Prinzip der stationären Wirkung genau solche qstat statt, bei denen S[qstat] stationär ist.
Die mathematisch genaue Formulierung verlangt, dass die Variation des Wirkungssintegrals Null sein muss:
- δS = 0
Hierauf folgt, dass das Wirkungsintegral ein Minimum, ein Maximum oder einen Sattelpunkt annimmt. Etwas allgemeiner ausgedrückt werden mit dem Prinzip der stationären Wirkung Realisierungen ausgezeichnet, in deren Umgebung sich das physikalische System praktisch nicht verändert.
Anwendungen
Das Prinzip der stationären Wirkung ist eines der fundamentalsten Prinzipien der Natur. Eine direkte Anwendung ist beispielsweise das Prinzip von Fermat, nach dem ein Lichtstrahl stets den Weg mit der kürzesten Eigenzeit wählt, womit das Brechungs- und Reflexionsgesetz der geometrischen Optik erfüllt werden. Das Prinzip von Fermat war eine der Grundideen (Analogie zwischen Mechanik und geometrischer Optik) für die Hamilton-Jacobi-Theorie der klassischen theoretischen Physik und mithin für eine entsprechende Formulierung auch in der Quantenmechanik (siehe dazu etwa Eikonalfunktion der geometrischen Optik).
Ein weiteres Beispiel für die Bedeutung des Hamilton-Prinzips ist der Aufbau der Elemente, nach dem die Atome so aufgebaut werden, dass sie stets die niedrigste Grundzustandsenergie einnehmen. Zusammen mit dem Pauli-Prinzip lässt sich so der Aufbau des Periodensystems der Elemente zumindest in grober Näherung verstehen.
Variationsprinzipien begründen den Großteil aller heute verwendeten Differentialgleichungen in der Physik, auch und gerade in modernen Eichfeldtheorien (siehe dazu Elementarteilchenphysik und Standardmodell).
Die verwendeten mathematischen Methoden sind das Variationsprinzip und die Funktionalanalysis.