Quadratische Funktion

Eine Quadratische Funktion ist ein Polynom der elementaren Algebra vom Grad 2, also von der Form $x \mapsto a x^2 + b x + c$ mit der Funktionsgleichung $y = a x 2 + b x + c$ . Der Graph einer Quadratischen Funktion ist eine Parabel.

Inhaltsverzeichnis

1 Die Quadratfunktion

2 Die allgemeinen Quadratischen Funktionen

2.1 Scheitelbestimmung
2.2 Nullstellen der Quadratischen Funktion

3 Quadratische Funktion als Kegelschnitt

4 Brennpunkt einer quadratischen Funktion

Die Quadratfunktion

Bild einer Normalparabel

Normalparabel

Die einfachste Quadratische Funktion ist die Quadratfunktion $x \mapsto x^2$ . Definitionsbereich: D $\in$ R, Wertebereich: W $\in$ R ₀^+</sub>

Der Graph der Quadratischen Funktion heißt (quadratische) Normalparabel. Er hat im Koordinatenursprung (0|0) seinen Scheitel und ist symmetrisch zur y-Achse.

An der Stelle x=0 nimmt die Quadratfunktion einen Extremwert an und hat dort ihre stärkste Krümmung.

Die allgemeinen Quadratischen Funktionen

Die Zuordnungsvorschrift der allgemeinen quadratische Funktion ist $x \mapsto a x^2 + b x + c$ .

Definitionsbereich: D = R

Die Koeffizienten a, b und c bestimmen teilweise direkt den Wertebereich und die Form des Graphen einer quadratischen Funktion. Ist a = 1, b = 0 und c = 0 so erhält man wieder die Quadratfunktion.

Parameter a
Wie der Wert von a die Form des Graphen verändert kann man am besten erkennen, wenn b = 0 und c = 0 ist. Man erhält dann eine Normalparabel mit einem Faktor vor dem x².

a > 0 ... der Graph ist nach oben geöffnet.

a < 0 ... der Graph ist nach unten geöffnet.

|a| > 1 ... der Graph ist gestreckt, d.h. in die Länge gezogen, wodurch er schmaler erscheint.

|a| < 1 ... der Graph ist gestaucht, d.h. in zusammengedrückt, wodurch er breiter erscheint.

Für a = –1 ist der Graph im Vergleich zur Normalparabel einfach an der x-Achse gespiegelt.

Änderung des Parameter a	Änderung des Parameter a
Änderung des Parameter a

Parameter b
Der Wert des Parameters b hat vor allem Auswirkungen auf die seitliche Verschiebung des Graphen. Allerdings bewirkt f(x) = x² + 1·x und f(x) = x² + 2·x gleichzeitig auch eine Verschiebung nach unten.

Eine Verschiebung des Graphen um eine Einheit nach rechts (im Vergleich zur Normalparabel) ergibt sich dagegen bei f(x) = (x-1)² = x² - 2*x +1.

Parameter c
Eine Veränderung des Parameters c bewirkt Verschiebung in y-Richtung. Wird c um 1 erhöht, wird der Graph um eine Einheit nach oben verschoben. Wird c um 1 verringert, wird der Graph dagegen um eine Einheit nach unten verschoben.

Scheitelbestimmung

Da der Scheitel maßgeblich für die Lage der Parabel ist und immer ein Minimum oder Maximum (hängt von a ab) des Funktionswertes ist, stellt die rechnerische Bestimmung der Scheitelkoordinaten eine der wichtigsten Aufgaben dar.

Die Koordinaten des Scheitels lassen sich direkt auslesen, wenn der Funktionsterm in Scheitelform umgeformt wird:

$f(x) = a \cdot \left( x-x_s \right)^2 + y_s$

Der Scheitel hat dann die Koordinaten S(x_s|y_s). Der Graph ist achsensymmetrisch zu einer Parallelen zur y-Achse durch x_s.

Beispiel: Bestimmung des Scheitels aus der Gleichung einer allgemeinen quadratischen Funktion
f(x) = 2 x ² + 4x + 5

$y = 2 \cdot x^2 + 4 \cdot x + 5$	Die ursprüngliche Funktionsgleichung.
$y = 2 \cdot \left( x^2 + 2 \cdot x \right) + 5$	Der Faktor a vor dem x ² wurde ausgeklammert, wobei der Summand +5 ausgeschlossen bleibt.
$y = 2 \cdot \left( x^2 + 2 \cdot x + 1 - 1 \right) + 5$	Es wird eine quadratische Ergänzung zu x ² + 2x durchgeführt
$y = 2 \cdot \left( \left( x + 1 \right) ^2 - 1 \right) + 5$	Durch die quadratische Ergänzung ist es leicht möglich aus einem Teil des Terms ein Quadrat heraus zu ziehen.
$y = 2 \cdot \left( x + 1 \right) ^2 - 2 + 5$	Nun wurde noch die Klammer mit dem Faktor 2 wieder aufgelöst, um den Term zu vereinfachen.
$y = 2 \cdot \left( x + 1 \right) ^2 + 3$	( -> 3 ) ablesen

Es gibt jedoch noch eine einfachere bzw. schnellere Möglichkeit den Scheitel zu ermitteln

$S = (-\frac{b}{2 \cdot a} | c-\frac{b^2}{4 \cdot a})$

Beispiel:

f(x) = 2 x ² + 4x + 5

$S (-\frac{4}{4}|5-\frac{16}{8})$

Daraus folgt in gekürzter Form:

S(-1|3)

Nullstellen der Quadratischen Funktion

Die Nullstellen einer Quadratischen Funktion ergeben sich aus der Lösungsmenge der quadratischen Gleichung 2x² + 4x + 5 = 0.