Quadratzahl

Als Quadratzahl wird in der Mathematik jede natürliche Zahl x bezeichnet, die das Produkt zweier gleicher, ganzer Faktoren ist, also x = n · n = n² (sprich: n-Quadrat). Das gilt für die natürlichen Zahlen wie für die negativen Zahlen: x = (-n) · (-n) = (-n)².

Umgekehrt ist die Quadratwurzel jeder Quadratzahl eine natürliche Zahl. Die Zahl Null wird üblicherweise nicht als Quadratzahl angesehen.

Beispiele

4 ist eine Quadratzahl, denn 4 = 2 · 2 = 2² (sprich: 2 zum Quadrat).
6 ist keine Quadratzahl, denn 6 = 3 · 2 lässt sich nicht als Quadrat einer ganzen Zahl darstellen.
144 ist eine Quadratzahl, denn 144 = 12 · 12 = 12².
10.000 ist eine Quadratzahl, denn 10.000 = 100 · 100 = 100².

Die ersten zwanzig Quadratzahlen sind:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400.

Formeln zum Generieren von Quadratzahlen

Eine Quadratzahl n² lässt sich als Summe der ersten n natürlichen, ungeraden Zahlen nach der Formel:

$n^2 = \sum^n_{i=1} (2i-1) = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1)$

bilden. Außerdem ergibt die Summe zweier aufeinander folgender Dreieckszahlen eine Quadratzahl, wobei gilt:

$n^2 = \frac{n(n-1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2}$

Außerdem gilt:

n 2 = (n - a)(n + a) + a 2

Diese Eigenschaft trifft u.a., mit a = 1, auch auf die Primzahlzwillinge zu.

Jede Pyramidenzahl lässt sich als Summe der ersten n Quadratzahlen bilden:

$\sum^n_{i=1} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dots + n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Siehe auch: Potenz (Mathematik), Vier-Quadrate-Satz, quadratfreie Zahl

Quadratzahl

Beispiele

Formeln zum Generieren von Quadratzahlen

See also: Quadratzahl, Dreieckszahl, Faktor (Mathematik), Natürliche Zahl, Null, Potenz (Mathematik), Primzahlzwilling, Produkt (Mathematik), Pyramidenzahl, Summe