Raketengrundgleichung
Die Raketengrundgleichung wurde erstmals 1903 aufgestellt von Konstantin Ziolkowski. Sie beschreibt die grundlegenden Gesetzmäßigkeiten des Raketenantriebs.
Betrachtet wird der Fall, dass eine einstufige Rakete im gravitationsfreien Vakuum beschleunige. Eine Abbremsung durch Gravitation und Reibung wird daher nicht in die Betrachtung einbezogen. Die Rakete habe beim Start die Geschwindigkeit Null und stoße Treibstoff mit einer konstanten Ausströmgeschwindigkeit aus. Dann beträgt die Geschwindigkeit nach der Zeit t
Dabei ist
- v(t) die Raketengeschwindigkeit zur Zeit t,
- v(g) die Ausströmgeschwindigkeit des Antriebsstrahles (typisch: 4,5 km/s bei chemischen Raketentriebwerken)
- m(0) die Startmasse der Rakete und
- m(t) die Masse der Rakete zur Zeit t (also um den verbrauchten Treibstoff verkleinerte Startmasse)
Detaillierte Herleitung der Gleichung
Bei der Beschleunigung strömt Treibstoff mit einer Geschwindigkeit v(g) nach hinten aus und beschleunigt so die Rakete, die eine Masse m(t) zum Zeitpunkt t habe, nach vorne. Diese Beschleunigung muss dem Impulserhaltungssatz gehorchen. Mit einer Raketengeschwindigkeit von v(t) vor dem Ausstoß hat man einen Impuls von m(t) v(t).
Beim Antrieb werde nun ein kleiner Teil der Raketenmasse (dm) als Treibstoff ausgestoßen. Nach dem Ausstoß hat die Rakete zum Zeitpunkt t + dt eine verminderte Masse (m(t) - dm) und eine erhöhte Geschwindigkeit (v(t+dt)); der Raketenimpuls ist damit (m(t) - dm) (v(t+dt). Der ausgestoßene Treibstoff mit Masse dm und Geschwindigkeit v(t)-v(g) hat einen Treibstoffimpuls von dm (v(t)-v(g) ).
Damit entsteht die Impulserhaltungsgleichung
Diese Gleichung kann man numerisch für einzelne Zeitschritte lösen. Wenn man einen kontinuierlichen Treibstoffausstoß annimmt, kann man obige Gleichung als Differentialgleichung auffassen und erhält als Lösung die oben angegebene Raketengleichung.
Praxisbezug
Falls man die Ausströmgeschwindigkeit variieren kann und eine bestimmte Zielgeschwindigkeit hat, so ist die benötigte Energie minimal, wenn die Ausströmgeschwindigkeit ca. 62,75 % der Zielgeschwindigkeit beträgt.
Die Raketengrundgleichung gilt auch im Vakuum des Weltraums, so auch für Ionentriebwerke und hypothetische Photonentriebwerke. "Swing-by"-Manöver und geplante Antriebe, die das Magnetfeld der Erde oder Sonne nutzen sollen, umgehen die durch die Ziolkowski-Gleichung gesetzten Grenzen.
Für Raketenstarts von der Erde muss die Formel noch um die Erdanziehungkraft ergänzt werden und lautet dann:
- g steht dabei für die Fallbeschleunigung von zunächst 9,81 m/s²
Da g von der Höhe abhängt, heißt es richtiger:
In der Realität hat man den Vorteil, dass sich die Erde dreht und man diese Geschwindigkeit mitbenutzen kann. (Am Äquator sind das etwa 0,46 km/s.)
Flugzeuge, die durch Strahltriebwerke angetrieben werden, führen zwar ihren Brennstoff mit, saugen aber Luft an, verwenden deren Sauerstoff für die Verbrennung des Treibstoffs und stoßen das entstehende heiße Gasgemisch aus. Sie führen also nur einen Teil ihrer Antriebsmasse mit sich. Für solche Flugkörper gilt die Raketengrundgleichung nicht.
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