Reductio ad absurdum
reductio ad absurdum (lat. Zurückführung zum Sinnlosen) bezeichnet eigentlich: eine Zurückführung auf Sinnloses, eine Widerlegung einer Behauptung durch den Nachweis, dass in ihr eine Unsinnigkeit, ein logischer Widerspruch enthalten ist, dass die Annahme ihrer Gültigkeit zu einem Widerspruch mit gesicherten Thesen führt.
Eine Entsprechung findet reductio ad absurdum in der deutschen Formel ad absurdum führen.
Eine sinngleiche Abwandlung findet reductio ad absurdum in reductio ad impossibile: eine Zurückführung auf eine Unmöglichkeit.
Diese Aussage als Beweisfigur
Eine Behauptung gilt als bewiesen, wenn aus ihrer Negation ein Widerspruch hergeleitet werden kann. Diese Art der Argumentation fußt auf dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten: eine gegebene Behauptung ist entweder wahr oder falsch, eine dritte Möglichkeit gibt es nicht (tertium non datur). Aus intuitionistischer Sicht ist aber der Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht ohne Probleme.
So schrieb Luitzen Egbertus Jan Brouwer:
"Gehen wir aber zu unendlichen Systemen über und fragen wir uns, ob in der Dezimalbruchentwicklung von pi(=3,14159 26535...) eine Sequenz 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 vorkommt, so können wir auf diese Frage weder eine bejahende noch eine verneinende Antwort geben, weil wir die betreffende Eigenschaft nicht prüfen können; dann aber sind wir, weil es außerhalb des konstruktiven menschlichen Geistes weder Mathematik noch mathematische Wahrheiten gibt, auch nicht zu der Behauptung berechtigt, dass in der Dezimalbruchentwicklung von pi die Sequenz 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 entweder vorkomme oder unmöglich vorkommen könne. Der Glaube an die ausnahmslose Gültigkeit des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik ist also für den Intuitionisten ein abergläubisches Dogma".
Insbesondere müsse jede Aussage über eine endliche Struktur als Aussage über endliche Teile derselben formuliert und bewiesen werden. Dieser intuitionistische Purismus versprach zwar einerseits Schutz vor Paradoxien, zwang jedoch andererseits, beträchtliche Teile der Mathematik zu opfern, besonders auf dem Gebiet der Analysis.
Kategorie:Logik