Reflexivität

Reflexivität ist ein Begriff aus der Mathematik und hat zwei Bedeutungen: Üblicherweise ist es eine Eigenschaft von Relationen; in der Funktionalanalysis versteht man darunter eine Eigenschaft von Banachräumen.

Reflexivität einer Relation

Eine zweistellige Relation heißt reflexiv, wenn jedes Element in Relation zu sich selbst steht.

Eine zweistellige Relation heißt irreflexiv, wenn kein Element in Relation zu sich selbst steht.

Beispiele reflexiver Relationen sind:

• Die Kleinergleich-Relation auf den ganzen Zahlen: Für jede ganze Zahl z gilt z ≤ z.
• Die "unechte" Mengeninklusion .

Beispiele in unterschiedlicher Darstellungsform

Reflexivität Graphendarstellung

Reflexivität Matrixdarstellung

Beispiele irreflexiver Relationen sind:

• Die Kleiner-Relation auf den ganzen Zahlen: Es gibt keine ganze Zahl z, für die z < z gilt.
• Die strikte Mengeninklusion .

Reflexiv und irreflexiv sind nicht das Gegenteil voneinander. Beispiele von zweistelligen Relation, die weder reflexiv noch irreflexiv ist, sind folgende Relationen:

• Die Relation "A findet B hübsch" auf der Menge aller Menschen; denn manche Menschen finden sich selber hübsch, andere Menschen finden sich selber nicht hübsch.
• Auf der Menge {0, 1} die Relation {(0,0), (0,1)}, d.h. 0 steht in Relation mit 0 und 1, 1 steht zu keinem Element in Relation.
• Sei f eine Funktion einer Menge A nach A, dann ist die Menge {(x,f(x)} (ihr Graph) eine zweistellige Relation auf A, die genau dann reflexiv ist, wenn f die identische Abbildung auf A ist, und genau dann irreflexiv ist, wenn f keinen Fixpunkt hat (also es kein x gibt mit f(x) = x). Ist also f z.B. die Funktion f(x) = x² von R nach R, dann ist die Relation f weder reflexiv (denn 2 ≠ f(2)) noch irreflexiv (denn 1 = f(1)).

Die einzige Relation, die sowohl reflexiv als auch irreflexiv ist, ist die Relation auf der leeren Menge.

Wichtige Klassen von Relationen, die reflexiv sind, sind Halbordnungen und Äquivalenzrelationen. Eine Ordnungsrelation heißt genau dann strikt, wenn sie irreflexiv ist.

Reflexivität von Banachräumen

In der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Analysis, ist Reflexivität eine Eigenschaft von Banachräumen.
Es sei ein Banachraum. Betrachte seinen Dualraum E ^* und dann wiederum den Dualraum von E ^* , den sog. Bidualraum von E, der mit E ^{* *} bezeichnet wird.

Durch die Abbildungsvorschrift

wird eine stetige lineare Isometrie definiert, die sog. kanonische Inklusion. Die definierende Gleichung von J_E liest sich also kurz so:

Als Isometrie ist J_E injektiv, falls J_E zusätzlich surjektiv, also insgesamt ein isometrischer Isomorphismus zwischen E und E ^{* *} ist, so nennt man E einen reflexiven Banachraum.

Eigenschaften

• Jeder Hilbertraum ist reflexiv.
• Jeder reflexive normierte Raum ist ein Banachraum.
• Abgeschlossene Unterräume reflexiver Räume sind reflexiv.
• Ein Banachraum E ist genau dann reflexiv, wenn sein Dualraum E ^* es ist.

See also: Reflexivität, Abgeschlossenheit, Analysis, Banachraum, Bidualraum, Dualraum, Fixpunkt, Funktion (Mathematik), Funktionalanalysis, Funktionsgraph