Regel von L'Hospital

Die Regel von L'Hospital (auch L'Hôpital geschrieben ) ermöglicht in der Mathematik die Berechnung bestimmter Grenzwerte.

Wenn für in einer Umgebung von s (wobei s eine beliebige reelle Zahl, aber auch plus oder minus Unendlich sein kann) differenzierbare Funktionen f(x) und g(x) die Grenzwerte von f(x) und von g(x) für x->s existieren und beide Null oder beide (+/-)Unendlich sind, dann existiert auch der Grenzwert des Bruchs f(x)/g(x), und er ist gleich dem Grenzwert des Bruchs, den man erhält, indem man sowohl im Zähler als auch im Nenner die Ableitung nach x an der Stelle s berechnet:

\lim_{x\to s}{f(x)\over g(x)}=\lim_{x\to s}{f'(x)\over g'(x)}\ \ \ \mbox{mit}\ \lim_{x\to s}{f(x)}=\lim_{x\to s}{g(x)}=0 \ \ \mbox{oder} +-\infty.

Man beachte, dass diese Regel auch mehrfach angewendet werden kann, falls der Grenzwert des Quotienten der Ableitungen wieder 0/0 oder +-∞/+-∞ ist.

Die Regel ist benannt nach Guillaume François Antoine, Marquis de L'Hospital (1661-1704), der sie aus einem Kurs von Johann Bernoulli übernahm und 1696 im ersten Lehrbuch der Differentialrechnung veröffentlichte.

Beispiele

(0:0): \lim_{x \to 0}{\cos(x)-1\over \tan(x)} = \lim_{x \to 0}{(\cos(x)-1)'\over \tan(x)'} = \lim_{x \to 0}{-\sin(x)\over 1/\cos(x)^2}= {-\sin(0)\over 1/\cos(0)^2} = {0\over 1} = 0
(0:0): \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \frac{1}{1} = 1
(∞/∞): \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2} = \infty

Beweis

Der geläufigste Beweis der Regeln von L'Hôpital benutzt den Mittelwertsatz von Cauchy.

Danach gibt es eine Konstante ch in dem Intervall c < ch < c + h sodass gilt:

{f'(c_h) \over g'(c_h)} = {{f(c + h) - f(c) \over h} \over {g(c + h) - g(c) \over h}} = {f(c + h) - f(c) \over g(c + h) - g(c)}

Da f(c) = g(c) = 0,

{f'(c_h)\over g'(c_h)} = {f(c + h)\over g(c + h)}

Wenn h \to 0, dann gilt

\lim_{h\to 0}{f'(c_h)\over g'(c_h)} = \lim_{x\to c}{f'(x) \over g'(x)} = \lim_{h\to 0}{f(c+h) \over g(c+h)} = \lim_{x\to c}{f(x) \over g(x)}

Deswegen

\lim_{x\to c}{f'(x)\over g'(x)} = \lim_{x\to c}{f(x) \over g(x)}.

See also: Regel von L'Hospital, Cauchy, Guillaume François Antoine, Marquis de L'Hospital, Intervall (Mathematik), Johann Bernoulli, Limes (Mathematik), Mathematik, Mittelwertsatz der Differenzialrechnung