Relativistisches Additionstheorem für Geschwindigkeiten

In der klassischen Physik werden Geschwindigkeiten vektoriell addiert. Nach der speziellen Relativitätstheorie folgt wegen der Relativität der Zeit und der Länge die Überlagerung von Geschwindigkeiten einem anderen Gesetz:

Das System S’ bewege sich relativ zum System S mit der Geschwindigkeit vx in Richtung der X-Achse. Im System S’ bewege sich ein Körper mit der Geschwindigkeit u’ (Komponenten: u’x, u’y, u’z). Dann hat dieser Körper für einen Beobachter in S die Geschwindigkeitskomponenten

u_x=\frac{u_x'+v_x}{1+\frac{u_x'v_x}{c^2}},\quad u_y=\frac{u_y'\sqrt{1-\frac{v_x^2}{c^2}}}{1+\frac{u_x'v_x}{c^2}},\quad u_z=\frac{u_z'\sqrt{1-\frac{v_x^2}{c^2}}}{1+\frac{u_x'v_x}{c^2}}
Inhaltsverzeichnis
1 Rapidität
2 Beweis des Additionstheorems für Geschwindigkeiten
3 Folgerungen

3.1 Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit
3.2 Erhaltung der Lichtgeschwindigkeit

4 Weblinks

Rapidität

Für den Tangens Hyperbolicus gilt das Additionstheorem.

\tanh(\alpha+\beta)=\frac{\tanh \alpha+ \tanh \beta}{1+\tanh\alpha\tanh\beta}

Die Größe

\alpha=\mathrm{artanh}\,\frac{v}{c}

heißt Rapidität oder in englisch Rapidity. Für

\alpha=\mathrm{artanh}\,\frac{v_x}{c},\qquad\beta=\mathrm{artanh}\, \frac{u_x'}{c}

erhält man durch Einsetzen in das Additionstheorem des Tangens Hyperbolicus die Komponente ux:

u_x=\frac{u_x'+v_x}{1+\frac{u_x'v_x}{c^2}}

In Bewegungsrichtung addieren sich also die Rapiditäten. Quer zur Bewegungsrichtung muss wie üblich die Zeitdilatation berücksichtigt werden.

Beweis des Additionstheorems für Geschwindigkeiten

Es ist

u_x=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},\quad u_y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},\quad u_z=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}

Durch Anwendung der Lorentz-Transformation auf die Ortskoordinaten und dann auf die Zeit erhält man

u_x=\frac{\frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'}\frac{\mathrm{d}t'} {\mathrm{d}t}+v\frac{\mathrm{d}t'}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} =\frac{(u_x'+v)\frac{\mathrm{d}t'}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\quad u_y = u_y'\frac{\mathrm{d}t'}{\mathrm{d}t},\quad u_z = u_z'\frac{\mathrm{d}t'}{\mathrm{d}t}
\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t'} =\frac{1+\frac{v}{c^2}\frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'}} {\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} =\frac{1+\frac{u_x'v}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \quad\Rightarrow\quad\frac{\mathrm{d}t'}{\mathrm{d}t}= \frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1+\frac{u_x'v}{c^2}}

Durch Einsetzen in die darüberstehenden Gleichungen ergeben sich die Additionstheoreme.

Folgerungen

Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit

Als Folge dieses Additionstheorems kann auch durch Überlagerung zweier Geschwindigkeiten die Lichtgeschwindigkeit nicht übertroffen werden.

Es sei

v=0.9c,\quad u_x'=0.9c

Dann ist

u_x = \frac{0.9c+0.9c}{1+0.9\cdot 0.9} \approx 0.99c < c

und nicht etwa 1.8c.

Erhaltung der Lichtgeschwindigkeit

Ist die Geschwindigkeit im System S' gleich der Lichtgeschwindigkeit, dann ist sie es auch im System S.

Ist z.B.

u_x'=0,\quad u_y'=c,\quad u_z'=0

dann ist

u_x=v,\quad u_y=c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},\quad u_z=0,

also insbesondere

u_x^2 + u_y^2 + u_z^2 = v^2 + c^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right) = c^2

Weblinks

20px Wikibooks: Spezielle_Relativitätstheorie

See also: Relativistisches Additionstheorem für Geschwindigkeiten, Additionstheorem, Geschwindigkeit, Klassische Mechanik, Rapidität (Physik), Spezielle Relativitätstheorie, Tangens Hyperbolicus, Vektor (Mathematik), Zeitdilatation