Residuensatz

Der Residuensatz ist ein wichtiger Satz der Funktionentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik.

Inhaltsverzeichnis

1 Residuum 1.1 Umlaufrichtung und Index 1.2 Definition des Residuums 2 Laurentreihe und Residuum 3 Residuensatz 3.1 einfaches Beispiel 3.2 Residuensatz 3.3 praktische Anwendung

Residuum

Der Cauchysche Integralsatz besagt:

Ist eine komplexe Funktion f (z) in einem einfach zusammenhängenden Gebiet G holomorph, dann besitzt für jede vollständig in G verlaufende geschlossene Kurve K das Integral der Funktion längs dieser Kurve den Wert 0:

.

Werden die genannten Voraussetzungen so geändert, dass f in einem einzelnen Punkt a innerhalb der Kurve nicht holomorph ist, so hat das Integral in der Regel einen Wert ungleich 0, es verbleibt ein "Rest".

Umlaufrichtung und Index

In dem Fall, dass das genannte Integral ungleich 0 ist, hängt sein Wert von der Kurvenrichtung ab, bei einem Wechsel der Kurvenrichtung wechselt auch das Vorzeichen des Ergebnisses. Weiterhin hängt der Integralwert davon ab, wie oft die Kurve den Punkt in gleicher Richtung umläuft, wird der Punkt beispielsweise zweimal in gleicher Richtung umlaufen, so verdoppelt sich auch der Integralwert.

Der Index einer Kurve zu einem Punkt - alternativ auch als Umlauf- oder Windungszahl bezeichnet - lässt sich anschaulich wie folgt darstellen:

I ( K , a ) = Anzahl der Umläufe von K um a entgegen dem Uhrzeigersinn
             - Anzahl der Umläufe von K um a im Uhrzeigersinn.
 

Definition des Residuums

Es sei G ein einfach zusammenhängendes Gebiet, a ein Punkt in G und f (z) eine in ganz G außer möglicherweise in a holomorphe Funktion.
Dann gilt für jede geschlossene Kurve K in G, die a genau einmal entgegen dem Uhrzeigersinn umläuft: Das Integral längs dieser Kurve ergibt eine komplexe Zahl, deren Wert unabhängig von der konkreten Kurve ist.

Dieser Integralwert dividiert durch ( 2 * π * i ) , der "Restwert des Integrals" wird als Residuum von f in a bezeichnet:

Erweiterung: Die Residuumsdefinition mit Hilfe einer einfach geschlossenen Kurve lässt sich zu einer Aussage für eine mehrfach geschlossen Kurve K erweitern, es gilt

Anmerkung: Falls f auch in a holomorph ist, besitzt das Residuum den Wert 0, die obenstehende Aussage ergibt erneut den Cauchyschen Integralsatz.

Laurentreihe und Residuum

Es sei U eine offene Teilmenge der komplexen Zahlen, a ein Punkt in U und f (z) eine in ganz U außer möglicherweise in a holomorphe Funktion.
Dann gilt für jede abgeschlossene Kreisscheibe mit Rand R um den Mittelpunkt a, die vollständig in U liegt:
f lässt sich im punktierten Inneren der Kreisscheibe durch eine Laurentreihe darstellen, d.h. für alle inneren Punkte der Scheibe außer möglicherweise a selbst gilt:
, bzw.

Für die komplexen Konstanten der Laurentreihen gilt:

Speziell für den Fall n = - 1 gilt:

Anmerkung: Falls f auch in a holomorph ist, besitzen alle c_n mit n < 0 und damit auch das Residuum den Wert 0 (was, wie oben beschrieben, den Cauchy'schen Integralsatz zur Folge hat).

Residuensatz

Der Residuensatz besagt, dass sich bei der Existenz mehrerer "Ausnahmepunkte" im Innern einer geschlossenen Kurve bei der Bildung des Integrals die einzelnen Residuen addieren.

einfaches Beispiel

Zum nebenstehendem Bild soll der Ausdruck J_v,w den Wert des Integrals von v nach w bezeichnen, damit ergibt sich nach der Definition des Residuums:

• ( 1 / 2 π i ) * ( J_v,w + J_w,u + J_u,v ) = res ( f , a )
• ( 1 / 2 π i ) * ( J_w,v + J_v,x + J_x,w ) = res ( f , b )

Addiert man bei den beiden Gleichungen jeweils die linke und die rechte Seite und berücksichtigt außerdem, dass J_v,w und J_w,v sich gegenseitig aufheben, dann gilt:

• ( 1 / 2 π i ) * ( J_w,u + J_u,v + J_v,x + J_x,w ) = res ( f , a ) + res ( f , b )

Residuensatz

Die Aussage des Beispiels lässt sich für eine beliebige, jedoch endliche Anzahl von Ausnahmepunkten a₁, a₂, ..., a_m erweitern. Dabei kann zu den einzelnen Punkten der Kurvenindex zu den Punkten berücksichtigt werden.

Es sei G ein einfach zusammenhängendes Gebiet, a₁, a₂, ..., a_m seien Punkte in G und f (z) eine in ganz G außer möglicherweise in den Punkten a₁, a₂, ..., a_m holomorphe Funktion. Dann gilt für jede geschlossene Kurve K in G, die nicht durch einen dieser Punkte führt, der Residuensatz:

praktische Anwendung

Der Residuensatz wird häufig dazu verwendet, z.B. reelle Integrale über den "Umweg" der komplexen Zahlen zu berechnen.

Rechenschema: Sei K_R der Teil einer geschlossenen Kurve, der längs der reellen Achse verläuft und K_C der Kurventeil, der außerhalb der reellen Achse verläuft, seien weiterhin J_R und J_C die Integralwerte einer Funktion längs K_R, bzw. K_C, dann gilt für das Gesamtintegral:
J_G = J_C + J_R.
Gelingt es, J_G über den Residuensatz zu berechnen und ist auch J_C bekannt, so erhält man jetzt direkt das reelle Integral über J_R = J_G - J_C. Siehe auch Residuenkalkül.

siehe auch: Komplexe Teilmengen

See also: Residuensatz, Cauchyscher Integralsatz, Funktion (Mathematik), Funktionentheorie, Holomorphie, Komplexe Teilmengen, Komplexe Zahlen, Kurve (Mathematik), Laurentreihe, Mathematik