Sankt-Petersburg-Paradoxon

In der Statistik und der ökonomischen Entscheidungstheorie kommt das Sankt-Petersburg-Paradoxon vor, in dem zwar der Erwartungswert unendlich ist, ein rationaler Spieler jedoch nur zu einem sehr geringen Einsatz bereit wäre.

Inhaltsverzeichnis

1 Die Konstellation

2 Wert des Spiels

3 Lösungsvorschläge

4 Weblinks

Die Konstellation

Es wird ein vorher festgelegter Einsatz bezahlt. Anschließend wird eine Münze solange geworfen, bis zum ersten Mal „Kopf“ erscheint. Sollte dies beim ersten Wurf der Fall sein, beträgt der Gewinn 1 €, beim 2. Wurf 2 €, beim 3. Wurf 4 € usw. Bei jedem weiteren Wurf wird der Gewinn verdoppelt. Daraus ergibt sich als Gewinn 2^k − 1 €, den Einsatz, wenn die Münze k-mal geworfen wird.

Welchen Einsatz sind die Spieler maximal bereit zu bieten?

Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf „Kopf“ zu haben, ist $p_1=\frac{1}{2}$ , erst beim zweiten Wurf „Kopf“ zu haben, ist $p_2=\frac{1}{2^2}$ , oder abstrahiert beim k-ten Wurf $p_k=\frac{1}{2^k}$ . Die Wahrscheinlichkeit, mehr als 100 € zu gewinnen, ist bereits schlechter als 1:100, für 1000 € beträgt sie bereits weniger als 1:1000.

Der Erwartungswert für den Gewinn ist die Summe über die Wahrscheinlichkeit, dass beim k-ten Wurf „Kopf“ erscheint, multipliziert mit dem Gewinn beim k-ten Wurf (2^k-1). Oder mathematisch ausgedrückt:

$E=\sum_{k=1}^\infty p_k 2^{k-1} =({1 \over 2} + {2 \over 4} + {4 \over 8} + {8 \over 16} + ...) =\frac{1}{2}\sum_{k=1}^\infty 1=\infty.$

Die Summe geht gegen unendlich, und so würde die traditionelle Theorie empfehlen, unabhängig vom zu zahlenden Einsatz am Spiel teilzunehmen (selbst wenn ein Spiel 1 Milliarde € kostet), denn langfristig ergibt sich aus diesem Spiel ein Gewinn. Die Idee dahinter ist, dass der Spieler irgendwann eine Glückssträhne bekommt und die mehreren Billiarden €, die bereits gesetzt wurden, vervielfacht zurückbekommt.

Indes wäre niemand bereit, hier viel mehr als 10 € einzusetzten, und zwar aus folgenden Gründen:

Wert des Spiels

Der Wert eines Spiel berechnet sich aus Gewinnquote * Wahrscheinlichkeit. Die Gewinnquote ist davon abhängig, wie viel Geld die Spielbank überhaupt hat. Deshalb betrachten wir die folgenden Fälle:

Die Spielbank hat 2⁰-1 = 0 €, also überhaupt nichts. Dann ist der Wert des Spiels 1 €, denn egal, wann „Kopf“ kommt, erhält der Spieler alles, was die Bank hat, nämlich seinen Einsatz zurück.
Die Spielbank hat 2¹-1 = 1 €. Dann ist der Wert des Spiels 1,50 €, denn mit 50 % Wahrscheinlichkeit erhält der Spieler 1 €, wenn gleich „Kopf“ kommt, und 2 €, wenn „Kopf“ irgendwann später kommt (die Spielbank hat ja nicht mehr). 1/2 * 1 + 1/2 * 2 = 1,50.
Die Spielbank hat 2²-1 = 3 €. Der Wert ist dann 2 €, denn in 50 % der Fälle erhält der Spieler 1 €, in 25 % der Fälle 2 € und in allen anderen Fällen 4 €. (1/2 * 1) + (1/4 * 2) + (1/4 * 4) = 2.
Allgemeiner Fall. Verfügt die Spielbank über 2ⁿ-1 €, dann ist der Wert des Spiels (n+2)/2 €.

Beispiele:

Hat die Spielbank 262.143 € flüssig (2¹⁸-1), dann ist der Wert des Spiels 10 €. ((18+2)/2 = 10).

Das Spiel ist 15 € wert, wenn die Spielbank Gewinne von 2²⁸ = 267.435.456 € auszahlen kann.

Wenn 20 € gesetzt werden könnten, hätte die Spielbank knapp 275 Milliarden € zur Verfügung.

Könnte die Spielbank Gewinne von 2⁴⁸-1 € auszahlen, (ca. 280 Billionen, das entspricht etwa dem 30-fachen Jahresbruttosozialprodukt der USA), dann wäre das Spiel 25 € wert.

Damit das Spiel 50 € wert ist, müsste die Spielbank über 2⁹⁸-1 (ca. 31,7 Quadrilliarden) € verfügen. Das entspricht dem Bruttosozialprodukt der USA in mehr als 3 Billiarden Jahren.

Und schließlich: Das Spiel ist 100 € wert, wenn die Spielbank eine Gewinnauszahlung von 2¹⁹⁸ € garantieren kann. Das sind über 400 Nonilliarden und entspricht dem BSP der USA in mehr als 40.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 Jahren.

Lösungsvorschläge

Die Auseinandersetzung mit dem Sankt-Petersburg-Paradoxon bringt ein besseres Verständnis vieler Fragen in der Wirtschafts- und Entscheidungstheorie mit sich.

Bernoulli, auf den dieses Paradoxon zurückgeht, leitete daraus den sinkenden Grenznutzen von Geld ab. Zum Beispiel stiften 9 Billiarden € keinen signifikant höheren Nutzen als 900 Billionen €, obwohl es zehnmal so viel Geld ist. Daraus folgt, dass es sich bei einer Wahrscheinlichkeit von 1:900.000.000.000 nicht lohnt, einen größeren Betrag darauf zu setzen.

Eine Möglichkeit, den Einsatz doch attraktiv zu machen, besteht darin, den Gewinn zu verändern, nämlich so, dass sich der Nutzen mit jedem Wurf verdoppelt (z. B. viel Geld, Schönheit, langes Leben, Gesundheit, Weisheit usw. mit der Annahme, dass jeder weitere Gewinn doppelt so nützlich ist wie der davor). In diesem Fall wäre es sinnvoll, so viel wie möglich zu bieten und am Spiel teilzunehmen. Dies unterstellt jedoch, dass der Nutzen immer steigerbar ist, d. h. dass es immer einen Gewinn gibt, der den bereits erreichten Nutzen noch verdoppeln kann.

Außerdem werden hier folgende Faktoren nicht beachtet:

Niemand hat so viel Geld und Zeit, das Spiel langfristig zu spielen.
Risikoaversion
Menschliche Entscheidungen sind nicht vollständig rational.

Weblinks

St Petersburg Paradox - Stanford Encyclopaedia of Philosophy (sehr ausführliche Behandlung)

Sankt-Petersburg-Paradoxon

Die Konstellation

Wert des Spiels

Lösungsvorschläge

Weblinks

See also: Sankt-Petersburg-Paradoxon, Entscheidungstheorie, Erwartungswert, Johann Bernoulli, Paradoxon, Rationalität, Risikoaversion, Statistik, Summe, Wahrscheinlichkeit