Satz vom ausgeschlossenen Dritten
Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten (lat. tertium non datur, wörtlich: Ein Drittes ist nicht gegeben) besagt, dass für eine beliebige Aussage P stets gilt: P ∨ ¬P (P oder nicht P).
Zum Beispiel gilt bei der Aussage:
Joe ist blond
die Disjunktion
Joe ist blond, oder Joe ist nicht blond.
Dies ist nicht dasselbe wie das Prinzip der Zweiwertigkeit, welches aussagt, dass keine Aussage zugleich wahr und falsch sein kann, das heißt, dass (P ∧ ¬ P) falsch ist (Satz vom Widerspruch). Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten soll unabhängig davon gelten, welchen Wahrheitswert P hat.
Der Satz vom ausgeschlossene Dritten wird problematisch, wenn er sich auf unendliche Mengen bezieht. Als Beispiel diene hier der Satz
P: Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, lässt sich als Summe von zwei Primzahlen darstellen.
Das Gegenteil dieses Satzes wird, nach der klassischen Logik, ausgedrückt durch den Satz
¬P: Es gibt eine gerade Zahl, die größer als 2 ist und sich nicht als Summe von zwei Primzahlen
darstellen lässt.
Weder der Satz „P" noch der Satz „¬P" konnten bis heute bewiesen werden. (Siehe Goldbach'sche Vermutung)
„P" kann nicht in der Weise bewiesen werden, dass für jede gerade Zahl g zwei Primzahlen p1 und p2 aufgeschrieben werden, deren Summe g ergibt. Denn es gibt ja unendlich viele gerade Zahlen. Nötig ist vielmehr ein Verfahren, das es erlaubt, in irgendeiner Weise aus der Zahl g, wie groß sie auch sei, die Zahlen p1 und p2 zu berechnen. Ein solches Verfahren ist heute aber nicht bekannt.
Um dagegen „¬P" zu beweisen, müsste eine einzige gerade Zahl angegeben werden, für die die Zerlegung in zwei Primzahlen unmöglich ist. Da diese Primzahlen kleiner als g sein müssen, also nur endlich viele in Frage kommen, lässt sich dies für eine bestimmte Zahl g problemlos überprüfen. Bei allen Zahlen, bei denen diese Prüfung erfolgt ist, haben sich bisher solche Primzahlen p1 und p2 gefunden. Die Überprüfung kann aber grundsätzlich nicht an allen geraden Zahlen erfolgen, weil dies unendlich viele sind.
Aus Sicht der Intuitionisten besagt der „Satz vom ausgeschlossenen Dritten" nun, dass eine der beiden oben dargestellten Aufgaben, also der Beweis von „P" oder der Beweis von „¬P" durchführbar sein muss. Dies halten sie nicht für eine logische Wahrheit.
(Sollte eines Tages nun doch die Goldbach'sche Vermutung bewiesen oder widerlegt werden, so gibt es doch noch unendlich viele Aussagen über unendliche Mengen, für die das gleiche Problem besteht.)
Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten wird deshalb zwar in der klassischen Logik akzeptiert, nicht jedoch in der intuitionistischen Logik und der Güntherlogik.
Dieser Satz hat eine lange philosophie-geschichtliche Tradition und ist daher auch noch unter anderen Bezeichnungen bekannt:
principium exclusi tertii sive medii inter duo contradictoria (lat.) bezeichnet in der formalen Logik als allgemein anerkanntes drittes Gesetz des Denkens "das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten", genauer: das Prinzip des Ausschließens des Dritten.
Da zwei einander sich widersprechende Sätze im Sinne des Nicht-Widerspruchsprinzips nicht zugleich wahr sein können, folgt daraus, daß entweder der eine oder der andere wahr ist; eine dritte Möglichkeit gibt es (in der Logik) nicht. Da man diese dritte Möglichkeit in der Logik seit Aristoteles mit einer räumlichen Analogie das Mittlere zu nennen pflegt, so wird das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten auch das "Prinzip des ausgeschlossenen Mittleren" genannt. Deshalb lautet die vollständige Benennung des in Rede stehenden Prinzips:"Prinzip des zwischen zwei kontradiktorischen Sätzen stehenden ausgeschlossenen Dritten oder Mittleren"(lat. principium exclusi tertii sive medii inter duo contradictoria).