Sehnensatz

|Sehnensatz

Gegeben sei ein Kreis k mit zwei Geraden g und h, die sich in einem Punkt S innerhalb des Kreises schneiden. Bezeichnet man die Schnittpunkte des Kreises k mit g als $G 1$ beziehungsweise $G 2$ und die Schnittpunkte des Kreises k mit h als $H 1$ beziehungsweise $H 2$ , so gilt:

$\overline{SG_1} \cdot \overline{SG_2} = \overline{SH_1} \cdot \overline{SH_2}$

Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:

$\overline{SG_1} : \overline{SH_1} = \overline{SH_2} : \overline{SG_2}$

Der Sehnensatz lässt sich - ähnlich wie der Sekantensatz und der Sekanten-Tangenten-Satz - mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen:

Die Dreiecke $G 1 H 2 S$ und $G 2 H 1 S$ sind ähnlicher Dreiecke, denn:

1) Scheitelwinkel in $S$

2) Umfangswinkel über der Sehne $H 2 G 2$

$\Rightarrow G_1H_2S \sim G_2H_2S$

$\Rightarrow k1 = k2$

$\Leftrightarrow H_2S : G_2S = G_1S : H_1S$

$\Leftrightarrow H_2S \cdot H_1S = G_1S \cdot G_2S$

Allgemein:</big>

Schneiden zwei Sehnen einander in einem Punkt $S$ , so ist das Produkt der jeweiligen Sehnenabschnitte gleich.

Umgekehrt:

Gilt für die Diagonalen eines Vierecks $A B C D$ (mit dem Diagonalenschnittpunkt $S$ ):

$AS \cdot SC = BS \cdot SD$ , dann besitzt diese Viereck einen Umkreis!! Kategorie:Ebene Geometrie

Sehnensatz

See also: Sehnensatz, Gerade, Kreis (Geometrie), Scheitelwinkel, Sekanten-Tangenten-Satz, Sekantensatz, Umfangswinkel, Umkreis, Ähnlichkeit (Geometrie)