Simpsonsche Formel

Die Parabel wird durch die Funktionswerte an den Stellen a, b, (a+b)/2 gelegt. Die Fläche nähert man an durch die Fläche unterhalb der Parabel.

Die Simpsonsche Formel lautet:

Q(f) = \frac{b-a}{6} \ (f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b))

Diese Formel – und auch die folgenden – kann man herleiten aus der „Allgemeinen Quadraturformel für eine Teilfläche“ (siehe Numerische Quadratur).

Damit lässt sich das Integral darstellen als

J(f) = \int_{a}^{b}f(x)dx = Q(f) + E(f)

Ist f(x) viermal stetig differenzierbar in [a,b], dann gilt für das Restglied E(f) folgende Abschätzung (siehe Numerische Quadratur):

\left| E(f) \right| \le {(b-a)^5 \over 2880} \max_{a\le x \le b} {\left| f^{(4)}(x) \right|}

Ist f(x) zusätzlich noch reellwertig, dann gilt mit einer Zwischenstelle ζ aus [a,b] für das Restglied:

E(f) = - {(b-a)^5 \over 2880}{{f^{(4)}(\zeta)}}

Diese Restglieddarstellung wurde 1887 von Peano gefunden.


Um das Integral noch besser annähern zu können unterteilt man das Intervall [a,b] in N nebeneinanderliegende gleich große Teilintervalle der Länge h. In jedem Teilintervall wendet man die Simpsonsche Formel für die einzelnen Teilflächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Damit erhält man die summierte oder zusammengesetzte Simpsonsche Formel:

Q(f)={h \over 3} \ ({1\over 2} f(x_0)+\sum_{k=1}^{N-1}f(x_k)+2\sum_{k=1}^{N}f({{x_{k-1}+x_k} \over 2})+{1\over 2} f(x_N))
mit h = (b-a) / N

Man sieht leicht einen Zusammenhang mit der Sehnentrapezformel QS(f) und der Tangententrapezformel QT(f):

Q(f)={1 \over 3} (Q_S(f)+2Q_T(f))


Die Fehlerabschätzung für das Restglied lautet:

\left| E(f) \right| \le {(b-a) \over 2880}h^4 \max_{a\le x \le b} {\left| f^{(4)}(x) \right|}

bzw. für reellwertige Funktionen mit einer Zwischenstelle ζ aus dem Intervall [a,b]:

E(f)=-{(b-a) \over 2880}h^4f^{(4)}(\zeta)

Siehe auch: Romberg-Integration

See also: Simpsonsche Formel, 1887, Evangelista Torricelli, Funktion (Mathematik), Giuseppe Peano, Integralrechnung, Intervall (Mathematik), Johannes Kepler, Keplersche Fassregel, Numerische Quadratur