Spektrum (Operatortheorie)
Der Begriff Spektrum eines Operators ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis einem Teilgebiet der Mathematik. In der endlichdimensionalen linearen Algebra betrachtet man bei Matrizen und Endomorphimen ihre Eigenwerte. Die Verallgemeinerung ins unendlichdimensionale wird in der Spektraltheorie betrachten. Das Spektrum eine Operators kann man sich als Menge verallgemeinerter Eigenwerte vorstellen.
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Definition
Das Spektrum eines Operators A die Menge aller Elemente z des Zahlenkörpers (meistens die komplexen Zahlen), so dass die Differenz des Operators mit dem z-fachen Einsoperator
- A - z 1
nicht invertierbar ist. Das Spektrum des Operators wird mit σ(A) bezeichnet und die Elemente des Spektrums heißen Spektralwerte.
Diese Definition gilt sowohl für eigentliche Operatoren, d.h. lineare Abbildungen eines Vektorraumes aus sich, als auch für abstrakte Operatoren im Sinne von Elementen einer assoziativen Algebra mit Eins.
Einfache Beipiele
Die abstrakte Definition oben lässt sich leichter verstehen, wenn man einfache Beispiele betrachtet:
- Die Funktionen auf einer beliebigen Menge M mit Werten in den komplexen Zahlen C bilden eine (assoziative) Algebra, d.h. einen Vektorraum mit zusätzlicher (assoziativer) Verknüpfung (Multiplikation), wobei die Summe zweier Funktionen und das Produkt zweier Funktionen punktweise definiert wird:
Eine Funktion f heißt dann in dieser Algebra invertierbar, wenn es eine andere Funktion g gibt, so dass f·g(=g·f)=1 (Einsfunktion) ist. Man sieht nun schnell ein, dass eine Funktion genau dann invertierbar ist, wenn sie nicht den Funktionswert 0 besitzt und die Inverse in diesem Fall punktweise die inversen Funktionswerte der ursprünglichen Funktion besitzt:
- f − 1(x) = (f(x)) − 1, wenn
überall.
Eine Zahl z ∈ C ist also ein Spektralwert, wenn die Funktion f-z nicht invertierbar ist, also den Funktionswert 0 besitzt. Dies ist natürlich genau dann der Fall, wenn z ein Funktionswert von f ist. Das Spektrum einer Funktion ist daher genau ihr Wertebereich.
- In der linearen Algebra bilden die n×n-Matrizen mit komplexen Einträgen eine Algebra bezüglich der üblichen Addition und Skalarmultiplikation (komponentenweise) sowie der Matrixmultiplikation. Eine Matrix A ist dabei genau dann invertierbar , wenn es eine Matrix B gibt, so dass A · B = B · A = 1 (Einheitsmatrix) ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Determinante nicht verschwindet: det A ≠ 0. Daher ist eine Zahl z ∈ C dann ein Spektralwert, wenn det (A - z 1) = 0 gilt. Da dies aber gerade das charakteristische Polynom der Matrix A in z ist, ist z genau dann ein Spektralwert, wenn z ein Eigenwert der Matrix ist. In der linearen Algebra bezeichnet das Spektrum einer Matrix daher die Menge der Eigenwerte.
Allgemeine Fälle
Die Spektraltheorie von Operatoren lässt sich im allgemeinen nur dann in einem gewissen Umfang ausbauen, wenn wir die Menge der zu betrachtenden Operatoren spezifiziert wird. Der Zahlenkörper sei im Folgenden immer C, besonders umfangreich ist die Theorie dann in zwei Fällen:
Banach-Algebren
Die Spektraltheorie der Elemente von Banachalgebren mit Eins ist eine Abstraktion der Theorie beschränkter linearer Operatoren auf einem Banachraum. Die einführenden Beispiele sind Spezialfälle dieser Theorie, wobei im ersten Beispiel der Raum der betrachteten Funktionen zu spezifizieren ist. Wählt man z.B. den Banachraum der stetigen Funktionen auf einem kompakten Raum mit der Supremumsnorm, so stellt dieses Beispiel den wohl wichtigsten Fall eine abelschen Banachalgebra mit Eins dar. Das zweite Beispiel findet seinen Platz in dieser Theorie als typisches endlichdimensionales Beispiel einer nicht abelschen Banachalgebra, wobei eine geeignete Norm für die Matrizen zu wählen ist. Das Spektrum eines Operators war im ersten Fall der Wertebereich und da die Funktionen stetig auf einem Kompaktum sein sollen irgendeine kompakte Teilmenge des C. Im zweiten Fall ist das Spektrum eine endliche Menge von Punkten in C und daher ebenfalls kompakt. Diese Tatsache kann auch im abstrakten Fall bewiesen werden:
- Satz: Das Spektrum σ(A) eines Elementes A einer Banach-Algebra mit Eins ist immer nicht-leer und kompakt.
Aus diesem Satz folgt unmittelar, dass es einen betragsmäßig größten Spektralwert gibt, denn das Supremum
- r(A)=sup{|z|: z ∈ σ(A) }
wird auf dem kompakten Spektrum angenommen. Man nenn diesen Wert den Spektralradius von A. Im Beipspiel der Algebra der stetigen Funktionen sieht man unmittelbar ein, dass der Spektralradius gerade der Norm der Elemente entspricht. Aus der linearen Algebra weiß man jedoch, dass dies für Matrizen im Allgemeinen nicht gilt, da z.B. die Matrix
nur den Eigenwert 0 besitzt, und daher ist r(A)=0, aber die Norm der Matrix (egal welche) ist nicht 0. Der Spektralradius ist im Allgemeinen tatsächlich kleiner als die Norm, es gilt aber
- Satz: In einer Banach-Algebra mit Eins existiert für jedes Element A der Grenzwert
und ist gleich dem Spektralradius von A.
Unbeschränkte Operatoren auf einem Hilbertraum
Die Spektraltheorie von unbeschränkten linearen Operatoren auf einem Hilbertraum ist eine Erweiterung der Spektraltheorie der Algebra der beschränkten Operatoren. Da unbeschränkte Operatoren allerdings keine Banach-Algebra bilden, finden nicht alle Ergebnisse dieser Theorie Anwendung. Insbsondere kann die Theorie in einem weiteren Umfang nur für normale unbeschränkte Operatoren aufgebaut werden, d.h. für Operatoren mit der Eigenschaft A*A=A A*.
Anwendung in der Physik
- Das Spektrum des Hamiltonoperators sind die möglichen Energiewerte, die das zugehörige quantenmechanische System annehmen kann.