Starrer Körper

In der klassischen Mechanik ist ein starrer Körper ein System von Massenpunkten, deren Entfernungen voneinander konstant sind. Wir sehen also ab von Deformationen des Körpers und von Schwingungen der Massenpunkte (Atome, Moleküle), wie sie bei realen Körpern stets vorhanden sind. Der "starre Körper" ist also auch wieder eine der so nützlichen Abstraktionen und Idealisierungen der theoretischen Physik.

Inhaltsverzeichnis

1 Die Verschiebung eines starren Körpers 2 Die Anzahl der Freiheitsgrade eines starren Körpers 3 Rotation eines starren Körpers um eine feste Achse - Die Winkelgeschwindigkeit als Vektor 4 Ebene Bewegung eines starren Körpers 5 Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt 6 Die allgemeinste Bewegung eines starren Körpers 7 Kräftesysteme, die an einem starren Körper angreifen 8 Rotation um eine feste Achse

Die Verschiebung eines starren Körpers

Die einzig mögliche Veränderung eines starren Körpers ist demnach die Veränderung seiner Lage relativ zu anderen Körpern, z. B. relativ zu einem Bezugssystem, das von einem Beobachter als ruhend betrachtet wird. Eine solche Lageänderung heißt »Verschiebung«. Sie kann auf drei verschiedene Arten geschehen:

1. Die Translation. Dies ist eine Verschiebung aller Massenpunkte des Körpers um denselben Vektor s. Der Ortsvektor r_i eines beliebigen Punktes geht dabei über in r'_i, wobei gilt: r'_i = r_i + s
2. Die Rotation um eine Gerade g. Dabei bewegen sich alle Massenpunkte, soweit sie nicht auf der Geraden g liegen, auf Kreisbögen, deren Mittelpunkte auf g liegen. Die Gerade g heißt Rotationsachse.
3. Die Rotation um einen Punkt P. Dabei bewegen sich alle (übrigen) Punkte des Körpers auf konzentrischen Kugelflächen um das Rotationszentrum P.

Wie später gezeigt wird, kann eine Rotation um einen Punkt stets auf eine Rotation um eine durch diesen Punkt gehende Achse zurückgeführt werden.

Die Anzahl der Freiheitsgrade eines starren Körpers

Die Anzahl der Freiheitsgrade eines Körpers gibt an, wie viele voneinander unabhängige Bewegungen der Körper ausführen kann. Ein Eisenbahnzug hat – da er an seine Schienen gebunden ist - nur einen Freiheitsgrad (vorwärts und rückwärts zählen zusammen nur als eine Bewegungsmöglichkeit). Formal ist dies daran erkennbar, dass die Position des Zuges durch eine einzige Koordinate beschrieben werden kann, wie sie sich z. B. auf den Kilometertafeln findet. Ein Auto auf der Erdoberfläche hat drei (nutzbare) Freiheitsgrade: Sein Ort kann durch seine geografische Länge und Breite beschrieben werden, die Richtung seiner Längsachse etwa durch den Winkel zur Nordrichtung. (Zwei weitere vorhandene Freiheitsgrade – die der Rotation um die Längsachse und um die horizontale Querachse – sollten besser nicht genutzt werden.)

Ein kunstflugtaugliches Flugzeug hat sechs Freiheitsgrade der Bewegung.

Der Anschauung kann man also entnehmen, dass ein freier Körper wie ein Flugzeug drei Freiheitsgrade der Translation besitzt: er kann sich nämlich frei in drei räumlichen Dimensionen (Länge, Breite, Höhe) bewegen. Dazu kommen drei Freiheitsgrade der Rotation: er kann um drei räumliche Drehachsen rotieren. Folglich besitzt der freie Körper sechs Freiheitsgrade der Bewegung.

Formal kann dieses Ergebnis so bestätigt werden: Stellen wir uns vor, der Körper führe ein räumliches Koordinatensystem mit sich, das mit ihm fest verbunden ist. Die Lage des starren Körpers bezüglich eines im Raum (des Beobachters) ruhenden Koordinatensystems ist dann eindeutig bestimmt, wenn die (drei) Ortskoordinaten des Ursprungs des »körperfesten Systems« und seine räumliche Orientierung bekannt sind. Diese wird charakterisiert durch die drei mal drei Richtungskosinus seiner Einheitsvektoren (i', j', k' ). Diese neun Größen unterliegen aber sechs Bedingungen: Die Summe der Quadrate der Richtungskosinus eines jeden Vektors muss 1 sein, und zudem müssen die Einheitsvektoren paarweise aufeinander senkrecht stehen. Von den neuen Größen sind also nur drei unabhängig. Dies entspricht den drei Freiheitsgraden der Rotation.

Die Zahl der Freiheitsgrade wird eingeschränkt, wenn der Körper nicht völlig frei beweglich ist. Ist z. B. einer seiner Punkte festgelegt, so kann man in diesen den Ursprung des körperfesten Systems legen. Damit fallen die drei Freiheitsgrade der Translation weg. Wird ein weiterer Punkt festgehalten, so kann der Körper nur noch um die Verbindungsgerade der beiden Punkte rotieren, und seine Lage ist durch eine einzige Koordinate, nämlich den Drehwinkel, festgelegt. Er besitzt also nur noch einen Freiheitsgrad der Bewegung. Legt man nun noch einen dritten Punkt des Körpers fest, so verliert er auch den letzten Freiheitsgrad.

Rotation eines starren Körpers um eine feste Achse - Die Winkelgeschwindigkeit als Vektor

Ein starrer Körper rotiere mit der Winkelgeschwindigkeit ω um eine feste Achse. Wie bereits erwähnt, hat der Körper dann nur noch einen Freiheitsgrad, nämlich den Winkel seiner Drehung bezüglich einer Ausgangslage.

Wir betrachten einen Punkt P des Körpers im Abstand ρ von der Drehachse.

Seine Bahngeschwindigkeit ist dann v = ω ρ. Wir legen in einen beliebigen Punkt der Drehachse den Ursprung O eines Koordinatensystems. Der Ortsvektor des Punktes P sei r. Dann ist ρ = r sin α. Führen wir nun auf der Drehachse noch einen Einheitsvektor e ein, mit dessen Richtung die Drehrichtung eine Rechtsschraube bildet, so ist v = ω e x r (Vektorprodukt von e und r). Dies legt den Gedanken nahe, den Vektor ω e als Vektor der Winkelgeschwindigkeit ω einzuführen. Dies ist jedoch nur dann sinnvoll, wenn Winkelgeschwindigkeiten auch die Gesetze der Vektorrechnung befolgen und sich vektoriell addieren lassen – jedenfalls dann, wenn die beiden Drehachsen einander schneiden.

Betrachten wir ein konkretes Beispiel, einen Zylinder, der sowohl um seine Längsachse als auch um eine dazu senkrechte, durch seinen Mittelpunkt gehende Achse rotiert.

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Am Beispiel des zweifach rotierenden Zylinders erkennt man, dass die horizontale Drehachse und damit auch der entsprechende Vektor der Winkelgeschwindigkeit sowie der Summenvektor ständig rotieren.

Ebene Bewegung eines starren Körpers

Ein Beispiel für die ebene Bewegung eines starren Körpers ist ein Buch, das auf einer Tischplatte bewegt wird. Dabei bewegen sich alle Punkte des Körpers (des Buches) parallel zu einer Ebene (zur Tischplatte). Alle Punkte des Körpers, die auf demselben Lot zur Ebene liegen, bewegen sich dabei auf kongruenten Bahnen. Daher genügt es, den Körper auf eine einzige Ebene – hier eine Seite des Buches – zu reduzieren und lediglich die Bewegung einer Ebene auf einer anderen, festen Ebene zu betrachten.

Diese Bewegung hat drei Freiheitsgrade: Wir können die beiden Koordinaten irgendeines Punktes der beweglichen Ebene beliebig wählen und dann die Ebene noch um diesen Punkt drehen.

Zunächst will ich zeigen, dass man jede beliebige ebene Verschiebung eines Körpers aus einer Position (1) in eine Position (2) als das Ergebnis einer Drehung um einen Punkt auffassen kann. Dabei wird von den Zwischenstadien der Verschiebung völlig abgesehen und es werden nur die Anfangs- und die Endposition betrachtet. Dabei genügt es, zwei in der Bewegungsebene gelegene Punkte A und B des Körpers herauszugreifen, denn durch die Lage dieser beiden Punkte ist auch die Position aller übrigen Punkte des Körpers festgelegt. Durch die betrachtete Verschiebung seien die beiden Punkte A und B auf einem beliebigen Weg in die Position A' bzw. B' bewegt worden. Konstruiert man die Mittelsenkrechten der Strecken AA' und BB' und schneidet sie miteinander, so erhält man das gesuchte Rotationszentrum P. Während der Drehung wird das Dreiecks PAB in das kongruente Dreieck PA'B' übergeführt und gleichzeitig alle anderen Punkte des Körpers aus ihrer ursprünglichen Lage in eine neue Position gebracht. Da das Drehzentrum für alle Punkte dasselbe ist, würde man denselben Punkt P auch mit zwei beliebigen anderen Punkten (statt A und B) finden.

(Zum vollständigen Beweis muss gezeigt werden, dass dieselbe Drehung, welche die Strecke PA in die Strecke PA' überführt, auch die Strecke PB in die Strecke PB' überführt. Dazu muss bewiesen werden, dass der Winkel APA' gleich dem Winkel BPB' ist. Wegen der Kongruenz der Dreiecke APB und A'PB' sind die Winkel APB und A'PB' gleich. Ich nenne sie α. Nun ist aber Winkel APA' = α + Winkel BPA' und Winkel A'PB' ebenfalls gleich α + Winkel BPA' . Also sind die beiden fraglichen Winkel gleich. – Einfacher ist folgende Argumentation, die später auch noch in einem anderen Zusammenhang benutzt werden kann: Da wir es hier mit einem starren Körper zu tun haben, ist auch das Dreieck ABP ein starres Gebilde. Daher können sich bei einer Rotation um P die beiden Radien PA und PB immer nur um gleiche Winkel drehen.))

Wenn wir nun die Zwischenstadien der Bewegung nicht ignorieren, sondern die Bahnkurven der Punkte A und B exakt verfolgen wollen, so können wir zunächst einige Zwischenstadien der Bewegung betrachten:

Für je zwei benachbarte Lagen der Strecke ’’AB’’ können wir - wie oben - ein temporäres Drehzentrum konstruieren und so die gesamte Ortsveränderung durch eine Anzahl von Drehungen um ein jeweils anderes temporäres Drehzentrum ("temporärer Pol") annähern.

Verbindet man die benachbarten temporären Drehzentren miteinander, entsteht ein Polygonzug. Es lohnt sich, diesen Vorgang in seinen Phasen in einem Modell zu realisieren. Dazu befestigt man ein Blatt Papier (die feste Ebene) auf einer geeigneten Unterlage (Korkbrett, Weichfaserplatte, Styroportafel ...). Ein zweites Blatt Papier (das transparent sein sollte) stellt die bewegte Ebene (den bewegten Körper) dar, auf der zwei Punkte A und B und ihre Verbindungsgerade markiert werden. Anstatt nun aber die einzelnen Phasen der Verschiebung dieser Ebene vorzugeben und dann Mittelsenkrechten über mehreren kleinen Teilstrecken zu errichten und diese paarweise miteinender zu schneiden (was mühsam und ungenau wäre), ist es weitaus bequemer, das Pferd von hinten aufzuzäumen und sich den Polygonzug von temporären Zentren beliebig vorzugeben. Dann wird das transparente Papier auf die feste Ebene gelegt. Mit einer Stecknadel sticht man zunächst in den Punkten A und B durch die beiden Papiere hindurch und markiert so deren Ausgangslage auf der festen Ebene. Dann sticht man im ersten Drehzentrum P₁ durch beide Ebenen und dreht die das obere Papier um einen beliebigen Winkel (etwa 20° bis 30°), wobei die Stecknadel die Drehachse bildet. Dann sticht man die Nadel durch das zweite Drehzentrum und dreht wiederum die obere Ebene um einen beliebigen Winkel usw. Nach der letzten Drehung markiert man durch Durchstechen die Lage der Punkte Π_i auf der festen Ebene und ebenso Endlage der Punkte A und B, die mit A' und B' bezeichnet sind. Dadurch erhält man auf der festen Ebene eine Figur, die etwa so aussieht:

Diese Abbildung lässt sich auch als "Ausschneidebogen" zur Demonstration verwenden. Dazu schneidet man den linken Teil am blauen Polygonzug entlang aus. Dann legt man die Punkte Π₆ und P₆ wieder aufeinander und dreht den ausgeschnittenen linken Teil um Π₆, bis Π₅ auf P₅ zu liegen kommt usw. So kann man den ganzen Vorgang rückwärts verfolgen, bis man am Anfang angekommen ist. Von dort kann man den ursprünglichen Ablauf nachvollziehen. Man kann also die wirkliche Bewegung der Ebene (oder des Körpers) annähern, indem man das körperfeste (blaue) Polygon um das raumfeste (rote) Polygon "kantet".

Wenn wir nun die Anzahl der betrachteten Bewegungspasen unbegrenzt wachsen lassen, so nähert sich der Bewegungsablauf unbeschränkt dem tatsächlichen Vorgang und die beiden Polygone werden zu glatten Kurven, von denen die blaue auf der roten abrollt. So ergibt sich folgender Satz:

Jede beliebige Bewegung eines starren Körpers in einer Ebene kann dadurch erzeugt werden, dass eine bestimmte, im Körper feste Kurve auf einer bestimmten, im Raume festen Kurve abrollt. Die erste Kurve heißt Gangpolkurve oder Körperzentrode, die zweite Rastpolkurve oder Raumzentrode.

Handelt es sich um die ebene Bewegung eines Körpers, so können wir in den Punkten der Rast– und Gangpolkurve Lote auf der festen Ebene errichten. Diese bilden je eine gerade Zylinderfläche, die Gangpolfläche (blau) und die Rastpolfläche (rot), die aufeinander abrollen.

 

Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt

Eine solche Bewegung heißt auch sphärische Bewegung, weil sich dabei alle Punkte des Körpers auf Kugelschalen ("Sphären") bewegen, deren Mittelpunkt der feste Punkt O ist.

Wir betrachten wieder zwei Punkte A und B des starren Körpers. Durch eine beliebige Bewegung um den festen Punkt O mögen die beiden Punkte in die Endlage A' und B' überführt werden. Wenn wir wieder von dem tatsächlichen Verlauf der Bewegung absehen und nur die Ausgangs- und die Endlage betrachten, so kann der gleiche Effekt stets durch eine Rotation um eine durch den festen Punkt gehende Achse erzielt werden. Es gilt also der Satz: Eine beliebige Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt ist äquivalent (d. h. hinsichtlich des Ergebnisses gleichwertig) einer Rotation um eine bestimmte, durch diesen Punkt gehende Achse (Eulersches Theorem).

Der Beweis verläuft analog zu dem für die ebene Bewegung.

Die beiden Dreiecke OAA' und OBB' sind gleichschenklig. Wir errichten die mittelsenkrechte Ebene e auf AA' und f auf BB' . Jeder Punkt der Ebene e ist von A und A' gleich weit entfernt, und jeder Punkt der Ebene f ist von B und A'B' gleich weit entfernt. Beide Ebenen gehen durch O und schneiden einander in einer Geraden OC. Alle Punkte dieser Geraden haben die Eigenschaften der Punkte beider Ebenen gemeinsam: sie sind sowohl von A und A' als auch von B und B' gleich weit entfernt. Außerdem ist der Winkel AOC gleich dem Winkel A’OC und der Winkel BOC gleich dem Winkel B'OC.

Jede durch O gehende und in der Ebene e liegende Gerade kann als Drehachse dienen, um A in A' überzuführen. Dasselbe gilt für jede in der Ebene f liegende und durch O gehende Gerade bezüglich der Punkte B und B' . Da die Gerade OC zusammen mit der Strecke AB als starrer Körper aufgefasst werden kann, führt eine Drehung um OC, welche A in A' überführt, auch B in B' über.

Analog zu unserem Vorgehen bei der ebenen Bewegung betrachten wir nun mehrere Zwischenstadien der tatsächlichen Bewegung und nähern jede der Bewegungsphasen durch eine Rotation um einen bestimmte Achse an, die wie oben gefunden werden kann. Die verschiedenen Achsen und die von ihnen bestimmten Ebenen bilden dann einerseits eine im Raum feste Pyramidenfläche (Rastpolpyramide) mit der Spitze in O und andererseits eine im Körper feste (und somit im Raum bewegliche) Pyramidenfläche, die Gangpolpyramide. Beide Pyramiden rollen über die Kanten aneinander ab.

Wenn die Anzahl der betrachteten Bewegungsphasen unbeschränkt zunimmt, gehen die beiden Pyramidenflächen in Kegelflächen über, die aufeinander abrollen und deren Mantellinien die (raumfesten und körperfesten) momentanen Drehachsen sind.

Im Hinblick auf die später zu behandelnde Kreiselbewegung ist insbesondere der Fall interessant, in dem die beiden Kegelflächen kreisförmig sind. Dabei sind zwei Fälle zu unterscheiden: Der Gangpolkegel (blau) kann auf dem Rastpolkegel (rot) außen oder innen abrollen. Dies zeigt die folgenden Abbildung.

 

Die allgemeinste Bewegung eines starren Körpers

Die allgemeinste Bewegung eines Körpers ist eine Bewegung, die keinen Einschränkungen unterliegt. Ein solcher frei beweglicher Körper hat sechs Freiheitsgrade, drei Freiheitsgrade der Translation und drei der Rotation. Seine Lage ist festgelegt durch Angabe von drei seiner Punkte. Die Anfangslage dieser Punkte sei A, B,C, ihre Endlage sei A', B', C' .

Es kann gezeigt werden, dass jede solche Bewegung äquivalent einer Schraubenbewegung ist. Das heißt: Zu jeder Bewegung eines starren Körpers lässt sich eine Schraubenlinie angeben, welche (ohne Berücksichtigung der Zwischenpositionen) die Punkte A, B, C in die Punkte A', B', C' überführt (Theorem von Chasles).

Auch hier kann der tatsächliche Bewegungsablauf durch eine Anzahl n von einzelnen Schraubenbewegungen angenähert werden. Für n gegen unendlich ergibt sich eine kontinuierliche Folge von unendlich vielen, verschwindend kleinen Schraubenbewegungen, welche den tatsächlichen Bewegungsablauf exakt wiedergibt. Eine solche Bewegungsfolge heißt Schrotung.

 

 

Kräftesysteme, die an einem starren Körper angreifen

Ein einzelner Massenpunkt erfährt keine Beschleunigung, wenn die Resultierende aller an ihm angreifenden Kräfte null ist. Man sagt dann, die angreifenden Kräfte seien im Gleichgewicht (oder auch – weniger präzise – der Massenpunkt sei im Gleichgewicht).Analog gilt für ein System von Massenpunkten, dass sein Schwerpunkt keine Beschleunigung erfährt, wenn die Resultierende aller Kräfte, die an dem Punktsystem angreifen, null ist. Das bedeutet jedoch nicht unbedingt, dass dann auch alle Massenpunkte des Systems unbeschleunigt sind, denn es könnte ja noch Rotationsbeschleunigungen um den (unbeschleunigten) Schwerpunkt geben. Die notwendige und hinreichende Bedingung für das Fehlen von Rotationsbeschleunigungen ist, dass die Summe aller an dem System angreifenden Drehmomente null ist:

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Beweis: Wie ich im Wikibuch "Mechanik realer Körper" im Kapitel "Drehimpuls und Drehmoment" gezeigt habe, ist ganz allgemein bei einem System von Massenpunkten

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Das bedeutet: Die Änderungsgeschwindigkeit dL_O/dt des Drehimpulses L_O des Systems ist gleich der Summe der auf das System einwirkenden Drehmomente. Wenn das Drehmoment M_O null ist, ist auch die Summe der Änderungen der Drehimpulse im Zeitelement dt gleich null. Das damals betrachtete System bestand allerdings aus unabhängigen Massenpunkten. In einem solchen System ist es denkbar, dass verschiedene Massenpunkte positive bzw. negative Drehimpulsänderungen erfahren, die einander kompensieren können. Da wir aber nun ein starres System von Massenpunkten betrachten, müssen eventuelle Änderungen des Drehimpulses der einzelnen Massenpunkte stets dasselbe Vorzeichen haben. Ihre Summe kann daher nur dann null sein, wenn sie alle einzeln null sind. Also finden für M_O gleich 0 im System keine Rotationsbeschleunigungen statt.

Folglich gilt: Notwendige und hinreichende Bedingung für das Fehlen von Translations- und Rotationsbeschleunigung bei einem starren Körpers ist, dass sowohl die Resultiere F der Kräfte als auch die Resultierende M der Drehmomente, die an dem Körper angreifen, null ist:

Für die Wirkung des an einem starren Körper angreifenden Kräftesystems kommt es also nur auf die beiden Resultierenden F und M an. Dies gilt – wie später gezeigt werden wird – nicht nur für den (statischen) Fall, dass keine Beschleunigungen stattfinden. Auch in den Gleichungen der Dynamik treten nur diese beiden Summenvektoren auf, sodass man sagen kann: Alle Systeme von Kräften, die in den Resultierenden F und M übereinstimmen, sind in ihrer Wirkung gleichwertig (äquivalent).

In diesem Zusammenhang begegnet uns ein weiterer Typ von Vektoren: Im Gegensatz zu den freien Vektoren (sie sind beliebig verschiebbar) und den gebundenen Vektoren (sie sind an einen Punkt gebunden; z. B. Feldvektoren und Ortsvektoren), dürfen Kraftvektoren nur in ihrer Wirkungslinie verschoben werden, da sich bei einer Parallelverschiebung außerhalb ihrer Wirkungslinie das von ihnen ausgeübte Drehmoment ändert. Solche Vektoren heißen linienflüchtig.

Dass Kraftvektoren nur in ihrer Wirkungslinie verschoben werden dürfen, hat Konsequenzen für die graphische Addition paralleler und antiparalleler Kräfte.

1. Fall: Parallele Kräfte

Um die Resultierende der beiden Kräfte und ihre Wirkungslinie zu finden, verschieben wir zunächst eine der beiden Kräfte (hier F₁) in ihrer Wirkungslinie, sodass die Verbindungslinie der Angriffspunkte der beiden Kräfte auf ihren Wirkungslinien senkrecht steht. Dann addieren wir zu beiden Kräften eine Hilfskraft F_x bzw. –F_x. Da sowohl die Summe wie das Drehmoment der beiden Kräfte null ist, ändert ihr Hinzufügen nichts an dem gegebenen Kräftesystem. Nun werden die beiden resultierenden Kräfte (grün) ermittelt und beide in ihren Wirkungslinien bis zum Schnitt verschoben. Durch Addition ergibt sich die resultierende Kraft F_R. Sie ist parallel zu F₁ und F₂. Ihr Betrag ist gleich der Summe F₁ + F₂. Die Resultierende kann nach Belieben in ihrer Wirkungslinie verschoben werden. Geschieht das so, wie in der Abbildung gezeigt, erkennt man, dass ihre Abstände von den beiden Teilkräften nach dem Hebelgesetz berechnet werden können.

2. Fall: Antiparallele Kräfte

Die größere der beiden Kräfte (hier F₂) wird in zwei Teilkräfte -F₁ und F₃ zerlegt. F₁ und -F₁ bilden zusammen ein Kräftepaar (das sind zwei entgegengesetzt gleiche Kräfte, die nicht am selben Punkt angreifen). Also gilt: Antiparallele Kräfte sind äquivalent einer Einzelkraft und einem Kräftepaar. Ist F₂ = –F₁, so ist die Einzelkraft null. Dies ist ein einfaches Beispiel dafür, dass zwar F = O, aber M ungleich null sein kann.

Das Drehmoment des Kräftepaares ist

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Das Drehmoment eines Kräftepaares ist also von der Lage des Bezugspunktes O unabhängig.

Im Allgemeinen jedoch hängt der Betrag eines Drehmoments vom Bezugspunkt O ab, da sich bei einer Verlagerung des Bezugspunktes die "Kraftarme" ändern und sogar beliebig groß werden können. Das Drehmoment ist jedoch immer dann vom Bezugspunkt unabhängig, wenn die Resultierende F der Kräfte null ist.

Beweis: Verschiebt man den Bezugspunkt O um den Vektor s nach O' und bezeichnet die neuen Ortsvektoren mit r' , so ist

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Wie oben gesagt wurde, kommt es bei einem Kräftesystem, das an einem starren Körper angreift, nur auf die Resultierenden F und M an. Die Resultierende F ist eine einzelne Kraft, und das resultierende Moment M kann durch ein geeignetes Kräftepaar aufgebracht werden. Also gilt:

Jedes an einem starren Körper angreifende Kräftesystem kann ersetzt werden durch eine Einzelkraft und ein Kräftepaar.

 

Rotation um eine feste Achse

Wenn ein starrer Körper in zwei Punkten O und O' fixiert wird, ist seine Freiheit auf die Rotation um die Achse OO' eingeschränkt. Er hat nur noch einen Freiheitsgrad, und seine Lage ist durch den Drehwinkel φ eindeutig beschrieben. Von den an ihm angreifenden Drehmomenten wirken lediglich ihre in der Drehachse liegenden Komponenten; die übrigen Komponenten werden durch Zwangskräfte in den Lagern kompensiert.

Wir legen nun den Ursprung des Koordinatensystems in den Punkt O und die Z-Achse in die Drehachse.

Die Gleichung für die Änderung des Gesamt-Drehimpulses des Körpers vereinfacht sich daher auf die Berücksichtigung der Z-Komponenten des Drehimpulses und der Resultierenden der (auf den Punkt O bezogenen) Drehmomente:

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Ein Vergleich mit der Bewegungsgleichung der eindimensionalen Translationsbewegung

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zeigt die formale Identität der beiden Gleichungen, wobei einander entsprechen:

Die kinetische Energie des rotierenden Körpers ist

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Kategorie:Technische Mechanik

See also: Starrer Körper, Bezugssystem, Flugzeug, Freiheitsgrad, Klassische Mechanik, Massenpunkt, Polygonzug, Theoretische Physik, Zylinder (Geometrie)