Stochastische Integration

Der Begriff des stochastischen Integrals verallgemeinert die Integralbegriffe von Henri Léon Lebesgue (Lebesgueintegral) und Thomas Jean Stieltjes (Stieltjesintegral) auf eine breitere Menge von Integratoren, da er stochastische Prozesse als Integratoren zulässt.

Inhaltsverzeichnis

1 Integralbegriffe nach Itō und Stratonovich

2 Ein Beispiel

3 Martingaleigenschaft

4 Anwendung

Integralbegriffe nach Itō und Stratonovich

Seien $(X_t),(Y_t),t\in [a,b]$ zwei (nicht notwendigerweise unabhängige) reellwertige stochastische Prozesse auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$ . Als Itō-Integral von X nach Y über dem Intervall [a,b] bezeichnet man die Zufallsvariable

$I:=\int_a^b X_t dY_t:=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n X_{(i-1)h} (Y_{ih}-Y_{(i-1)h}), h=\frac{b-a}{n}$ .

Das zugehörige Stratonovic-Integral berechnet sich als

$S:=\int_a^b X_t dY_t:=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n X_{(i-0.5)h} (Y_{ih}-Y_{(i-1)h})$ .

Beim Itō-Integral wird der Integrand X also stets am Anfang des h-Intervalls ausgewertet, bei Stratonovic in der Mitte. sind X und Y nicht unabhängig, so kann das tatsächlich zu verschiedenen Werten führen.

Ein Beispiel

Sei $(W t), t > 0$ eine (Standard-)Brownsche Bewegung. Zu berechnen ist das Itō-Integral $\int_0^T W_t dW_t$ . Schreibt man der Kürze halber $B i : = W i T / n,Δ B i : = B i + 1 - B i$ und benutzt man die Identität $B_{i+1}^2 -B_i^2=(B_{i+1}-B_i)^2 + 2 B_i (B_{i+1}-B_i)$ , so erhält man aus obiger Integrationsvorschrift

$I=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} B_i (B_{i+1}-B_i) = \lim \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-1}(B_{i+1}^2-B_i^2) -\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-1} (B_{i+1}-B_i)^2 =\frac{1}{2} \lim \sum_{i=0}^{n-1}(B_{i+1}^2-B_i^2) -\frac{1}{2} \lim \sum_{i=0}^{n-1} (\Delta B_i)^2$

$=\frac{1}{2} \lim (B_n^2-B_0^2) -\frac{T}{2} \lim \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} (\frac{n}{T} \Delta B_i)^2$

Benutzt man nun, dass $B 0 = W 0 = 0, B n = W T$ sowie $\frac{n}{T} \Delta B_i \sim \Chi_1^2 i.i.d.$ (letzteres wegen den unabhängigen, normalverteilten Zuwächsen der Brownschen Bewegung, so folgt mit dem Gesetz der großen Zahlen für den hinteren Grenzwert

$I=\frac{1}{2}W_T^2-\frac{T}{2}$

Um das entsprechende Stratonovic-Integral zu berechnen, nutzt man die Stetigkeit der Brownschen Bewegung aus:

$S= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} B_{i+0.5}(B_{i+1}-B_i)=\lim( B_{n-0.5}B_n-B{n-0.5}B{n-1}+B_{n-1.5}B_{n-1}- \ldots +B_{0.5} B_1-B_{0.5} B_0$

$=\lim B_{n-0.5} B_n- [B_{n-1}(B_{n-0.5}-B_{n-1.5})+ \ldots + B_1(B{1.5}-B_{0.5})]-B_{0.5} B_0=W_T^2-\lim\sum_{i=0.5}^{n-1.5}B{i+0.5}(B_{i+1}-B_i)+0$

$=W_t^2-S \Rightarrow S=\frac{1}{2}W_T^2$

Itō- und Stratonovic-Integral über demselben Prozess führen also zu verschiedenen Ergebnissen, wobei das Stratonovic-Integral eher der intuitiven Ahnung aus der gewöhnlichen (deterministischen) Integralrechnung entspricht.

Martingaleigenschaft

Der entscheidende Vorteil, der letztendlich dazu geführt hatte, dass sich das Itō-Integral weitgehend als Standard durchgesetzt hat, ist die folgende Eigenschaft: Ist der Integrator Y eine Brownsche Bewegung (der bei weitem am häufigsten verwendete Integrator) oder allgemeiner ein Lévy-Prozess mit konstantem Erwartungswert, und ist X eine nicht vorgreifende Funktion von Y und t (d.h. $X_t \in \sigma (Y_s; s<t), \sigma $ sei hier der Sigma-Algebra-Operator), so ist der Prozess $ t \to \int_0^t X_s dY_s $ ein Martingal bezüglich der natürlichen Filtrierung von Y. Diese nützliche Eigenschaft wird durch Stratonovic nicht gewährleistet.

Anwendung

Ausgehend vom Itōschen Integralbegriff ist es nun möglich, eine breite Klasse von stochastischen Prozessen zu definieren: Demnach wird ein Prozess $(X t), t > 0$ Itō-Prozess genannt, wenn es eine Brownsche Begegung $(W t), t > 0$ und nicht vorgreifende Funktionen $u,v: \mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ gibt mit

$X_t=\int_0^t u(t,W_t)dt + \int_0^t v(t,W_t)dW_t$ .

Das Prädikat "X ist ein Itō-Prozess" wird somit zu einem stochastischen Pendant zum Begriff der Differenzierbarkeit. Ausgehend hiervon wurden dann von Itō selbst die ersten stochastische Differentialgleichungen definiert.

Durch zahlreiche Anwendungen in der mathematischen Modellierung, insbesondere in der Quantenphysik und der Finanzmathematik hat sich der Itō-Kalkül inzwischen zu einem unverzichtbaren mahtematischen Werkzeug entwickelt.

Stochastische Integration

Integralbegriffe nach Itō und Stratonovich

Ein Beispiel

Martingaleigenschaft

Anwendung

See also: Stochastische Integration, Differenzierbarkeit, Erwartungswert, Filtrierung, Finanzmathematik, Gesetz der großen Zahlen, Henri Léon Lebesgue, Integral, Itō Kiyoshi, Lebesgueintegral