Stochastischer Prozess

Stochastische Prozesse sind zeitliche Vorgänge, die in jedem Zeitpunkt durch zufällige Schwankungen beeinflusst werden.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition

2 Eigenschaften

3 Beispiele

4 Weblinks

Definition

Die formale Definition lässt sich wie folgt formulieren. Ein stochastischer Prozess ist eine Familie von Zufallsvariablen $Y (ω, t)$ . Dabei ist $\omega\in\Omega$ und $t\in\mathbb{T}$ . Der stochastische Prozess ist dabei definiert für einen Wahrscheinlichkeitsraum $[\Omega, \mathcal{A}, P]$ . Die Indexmenge bzw. der Parameterraum $\mathbb{T}$ ist beliebig, aber nicht zufällig. Er kann abzählbar viele Elemente enthalten (zeitdiskreter Prozess) oder überabzählbar viele Elemente (zeitstetiger Prozess). Die Realisationsmenge von $Y$ bildet den Zustandsraum des Prozesses. Wenn der Zustandsraum abzählbar ist, spricht man von einem wertediskreten Prozess oder Punktprozess.

Eigenschaften

Über die Momente erster und zweiter Ordnung des Prozesses lassen sich Aussagen hinsichtlich der Stationaritätseigenschaften ableiten. Ein stochastischer Prozess ist

mittelwert-stationär, wenn $μ t = μ$ ,
varianz-stationär, wenn $\sigma^2_t=\sigma^2$ ,
kovarianz-stationär, wenn $γ(t 1, t 2) = γ l$ mit $l = t 2 - t 1$ (aus der Kovarianz-Stationarität folgt die Varianz-Stationarität),
schwach-stationär, wenn Mittelwert- und Kovarianz-Stationarität gegeben sind,
streng stationär, wenn für alle Zeitpunkte die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen invariant gegenüber einer zeitlichen Verschiebung um l ist.

Beispiele

Der stochastische Prozess ist dadurch gegekennzeichnet, dass an jeder Stelle t der Zeitreihe eine Zufallsvariable vorliegt. Ein typisches Beispiel hierfür ist der Münzwurf. Es sei angenommen, dass ein Spieler im Zeitpunkt t=0 ein Startkapital von 10 Euro hat. Bei jedem Wurf einer Münze gewinnt er einen Euro, falls "Zahl" erscheint, oder er verliert einen Euro, falls "Kopf" erscheint. Handelt es sich bei der verwendeten Münze um eine "faire" Münze, so ist die Wahrscheinlichkeit für "Kopf" und "Zahl" gleich und zwar 0,5. Stellt man den jeweiligen "Kontostand" des Spielers nach jedem Münzwurf graphisch dar, so ergibt sich ein stochastischer Verlauf.

Der sogenannte reine Zufallsprozess, auch Weißes Rauschen genannt, ist eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen. Ist die Variable Bernoulli-verteilt spricht man von einem Bernoulli-Prozess, ist die Variable normalverteilt, von einem Gauss-Prozess. Ein weiterer stochastischer Prozess ist der Random Walk. Dieser ist ein diskreter Prozess mit stationär unabhängigen Zuwächsen.

Weitere Typen stochastischer Prozesse: Wiener-Prozess, Markow-Prozess, lineare stochastische Prozesse.

Weblinks

Siehe auch: Zeitreihenanalyse, Zählprozess, Stationärer Prozess (AR-, MA- und ARMA-Modelle), Erneuerungsprozess, Martingal, Ergodentheorie, stochastische Differentialgleichung, Kiyosi Itô

Stochastischer Prozess

Definition

Eigenschaften

Beispiele

Weblinks

See also: Stochastischer Prozess, ARMA-Modelle, Bernoulli-Prozess, Diskret, Erneuerungsprozess, Gauss-Prozess, Kiyosi Itô, Lineare stochastische Prozesse, Markow-Prozess, Martingal