Summe

In der Mathematik ist eine Summe das Ergebnis einer Addition.

Inhaltsverzeichnis

1 Wortgeschichte und -bedeutungen

2 Summe als Ergebnis einer Addition

3 Summe einer Folge, Reihe

4 Notation mit dem Summenzeichen

5 Unendliche Summen

6 Verwandte Begriffe

Wortgeschichte und -bedeutungen

Das Wort Summe wurde im Mittelhochdeutschen vom lateinischen summa entlehnt. Summa war bis in das 19te Jahrhundert neben Summe gebräuchlich. Das lateinische summa geht auf den Superlativ summus (zu superus, superior), der das oberste, höchste, größte bezeichnet.

In weiteren Sinne bezeichnet Summe eine Gesamtheit oder einen Inbegriff.

In der Alltagssprache bezeichnet Summe einen Geldbetrag unhängig davon, ob er durch Addition zustande gekommen ist.

Summe als Ergebnis einer Addition

In dem mathematischen Term

2+3

heißen die Zahlen 2 und 3 Summanden. Der gesamte Term wird als die "Summe von 2 und 3" bezeichnet.

Man kann eine Summe von mehr als zwei Summanden bilden, so zum Beispiel

4+7+1.

Aufgrund der Assoziativität der Addition muss dabei nicht angeben werden, in welcher Reihenfolge die Additionen auszuführen sind. So gilt, dass (4+7)+1 = 4+(7+1) ist und die Summe kann auch ohne Klammern geschrieben werden.

Aufgrund des Kommutativgesetzes der Addition ist auch die Reihenfolge der Summanden egal, d.h. es ist zum Beispiel

4+7+1 = 7+4+1.

Wird $n$ -mal die gleiche Zahl $a$ addiert, dann kann die Summe auch als Produkt $n \cdot a$ geschrieben werden.

Summe einer Folge, Reihe

Wenn eine Summe sehr viele Summanden hat, ist es zweckmäßig, eine abgekürzte Schreibweise zu vereinbaren. Die Summe der ersten 100 natürlichen Zahlen kann zum Beispiel als

1+2+...+100

angegeben werden, denn es ist leicht zu erraten, welche Summanden durch die Auslassungspunkte ersetzt wurden.

So wie man in der elementaren Arithmetik von Zahlenrechnungen wie 2+3=5 zu Buchstabenrechnungen wie $2 + x = y$ übergeht, so kann man z.B. die Summe von hundert ganz bestimmten Zahlen zur Summe einer beliebigen Anzahl beliebiger Zahlen verallgemeinern. Dazu wird zunächst eine Variable gewählt, zum Beispiel $n$ , die die Anzahl der Summanden bezeichnet. Im obigen Fall, der Summe der ersten einhundert natürlichen Zahlen, wäre $n = 100$ . Da beliebig große $n$ zulassen sein sollen, ist es nicht möglich, alle $n$ Summanden durch $n$ verschiedene Buchstaben zu bezeichnen. Stattdessen wird ein einzelner Buchstaben z.B. $a$ gewählt und um einen Index ergänzt. Dieser Index nimmt nacheinander die Werte 1, 2, ... an. Die Summanden heißen dementsprechend $a_1,\ a_2, \dots$ . Die Summanden bilden somit eine Zahlenfolge (siehe Folge (Mathematik)).

Wir können nun für beliebige natürliche Zahlen $n$ die Summe der ersten $n$ Glieder der Zahlenfolge als

$s_n = a_1 +a_2 + \dots + a_n$

schreiben. Wenn man für $n$ verschiedene Werte 1, 2, ... einsetzt, bilden die $s_1 ,\ s_2 , \dots$ ihrereseits ebenfalls eine Folge. Eine solche Folge von Partialsummen über die Anfangsglieder einer Folge wird als Reihe bezeichnet.

Beispiel: Für die Folge der Quadratzahlen ist $a 1 = 1$ , $a 2 = 4$ , $a 3 = 9$ . Ganz allgemein gilt

a n = n 2

Die Reihe der Partialsummen dieser Folge beginnt mit $s 1 = 1$ , $s 2 = 5$ , $s 3 = 14$ . Eine Summationsformel besagt nun für beliebige $n$ :

$s_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$

Weitere Summationsformeln wie zum Beispiel

$1+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$

finden sich in der Formelsammlung Algebra. Der Beweis solcher Formeln erfolgt über vollständige Induktion.

Notation mit dem Summenzeichen

Summen über endliche oder unendliche Reihen können statt mit Auslassungspunkten auch mit dem Summenzeichen notiert werden:

$\sum_{k=m}^{n}a_k = \sum_{m \leq k \leq n}a_k = a_m + a_{m+1} + \dots + a_n$

Das Summenzeichen besteht aus dem großen griechischen Buchstaben Sigma, gefolgt von einem Folgenglied, das durch einen zuvor nicht benutzten Index (hier $k$ ) bezeichnet wird. Dieser Index heißt Lauf- oder Zählvariable. Welche Werte die Laufvariable annehmen kann, wird an der Unterseite, gegebenenfalls auch der Oberseite des $Σ$ angezeigt. Es gibt dafür zwei Möglichkeiten: Entweder wird unten ein Start- und oben ein Endwert angegeben (hier: $m$ und $n$ ), oder es werden unten eine oder mehrere Bedingungen für die Zählvariable gestellt (hier: $m < k < n$ ). Diese Angaben können reduziert oder weggelassen werden, wenn angenommen werden kann, dass der Leser sie aus dem Kontext heraus zu ergänzen vermag.

Für $m = n$ besteht die Summe aus einem einzigen Summanden $a n$ . Es hat sich als nützlich erwiesen, für $n = m - 1$ folgende Konvention einzuführen:

$\sum_{k=m}^{m-1}a_k := 0\$ (leere Summe).

In der Tensorrechnung vereinbart man häufig die Einsteinsche Summationskonvention, der zufolge das Summationszeichen weggelassen werden kann, da aus dem Kontext klar ist, dass über alle doppelt vorkommenden Indizes zu summieren ist.

Für Doppelsummen gilt in der mathematischen Physik die Konvention, dass ein Apostroph am Summenzeichen

$\sum_{ij}{'} \dots = \sum_{i\ne j} \dots\,$

besagt, dass bei der Summation Summanden auszulassen sind, für die die beiden Laufvariablen übereinstimmen. Zur Bezeichnung von Zählvariablen werden meistens die Buchstaben $i$ , $j$ und $k$ verwendet. Wenn nicht eindeutig hervorgeht, welche Variable die Zählvariable ist, muss dies im Text angemerkt werden.

Unendliche Summen

Wenn unendlich viele Ausdrücke summiert werden, also zum Beispiel

$\sum_{j=1}^{\infty} a_j = \sum _{j \geq 1} a_j = a_1 + a_2 + a_3 + \dots$

mit unendlich vielen Summanden ungleich Null, müssen Methoden der Analysis angewendet werden um den entsprechenden Grenzwert zu finden. Eine solche Summe wird unendliche Reihe genannt. Als Obergrenze schreibt man das Symbol für Unendlichkeit ( $\infty$ ). Siehe dazu den Artikel Reihe (Mathematik).

Es ist aber anzumerken, dass nicht jede Summe, die ∞ als Obergrenze besitzt, eine unendliche Summe sein muss. Zum Beispiel hat die Summe

$\sum_{k>0} \left[\frac{n}{p^k}\right] = \left[\frac{n}{p}\right] + \left[\frac{n}{p^2}\right] + \left[\frac{n}{p^3}\right] + \dots$

für Primzahlen $p$ und der Ganzzahl-Funktion $[x]$ , zwar unendlich viele Summanden, aber nur endlich viele sind ungleich Null. (Diese Summe gibt an, wie oft der Faktor $p$ in der Primfaktorzerlegung von n! vorkommt.)