Superpositionsprinzip

Inhaltsverzeichnis

Mathematik

In der Mathematik bedeutet das Superpositionsprinzip, dass eine Linearkombination von Lösungen einer homogenen linearen Gleichung wieder eine Lösung dieser Gleichung ist.

Zum Beispiel bei einer homogenen linearen Differentialgleichung kann man Lösungen x_1, x_2, \ldots x_n durch Summation zu einer neuen Lösung zusammensetzen:

x(t) = \sum_{i=1}^{n}{\alpha_i x_i(t)}

mit beliebigen Koeffizienten. Dies wird als Superposition oder Superpositionsprinzip bezeichnet. Das gleiche gilt für Lösungen von homogenen partiellen Differentialgleichungen.

Physik

Mechanik

Wirken auf einen Punkt (oder einen starren Körper) mehrere Kräfte \vec{F_1},\vec{F_2}, \ldots, \vec{F_n}, so addieren sich diese vektoriell zu einer resultierenden Kraft \vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \ldots + \vec{F_n} auf. Dies nennt man Superpositionsprinzip oder auch Überlagerungsprinzip der Kräfte.

Weiterhin gilt das obige mathematische Superpositionsprinzip für lineare Kräfte, also insbesondere harmonische Oszillatoren.

Wellen

Das Superpositionsprinzip bedeutet hier, dass Wellen sich überlagern, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen, wenn sie einer homogenen linearen Wellengleichung genügen oder wenn ihre Inhomogenitäten sich addieren. Jede Einzelwelle ist eine Lösung der Differentialgleichung und durch Summation dieser Einzelwellen entsteht die Welle, die man dann beobachtet.

Im Bereich der linearen Optik überlagern sich demnach elektromagnetische Wellen, ohne sich zu beeinflussen: Eine Welle breitet sich in einem Medium immer in gleicher Weise aus - unabhängig von eventuell vorhandenen weiteren Wellen. Nur dadurch ist eine Fourier-Zerlegung möglich.

Dieses Prinzip der linearen Überlagerung ist auch (in guter Näherung) bei Wasserwellen gut zu beobachten: Einzelne Wellenzüge überlagern sich linear in einem Wechselwirkungsgebietes und laufen nach Verlassen dieses Gebietes in ihrer ursprünglichen Form weiter.

Dies gilt nicht mehr im Bereich der nichtlinearen Optik, es kommt dort zu Energieübertragungen zwischen den wechselwirkenden Primärwellenzügen, resultierender Amplituden- und Frequenzänderung sowie zur Neuausbildung von sekundären elektromagnetischen Wellen.

Im Analogon der Wasserwellen wird die Amplitude durch die Überlagerung so groß, dass die resultierende Welle "bricht".

Dieser Vorgang lässt sich mathematisch dadurch beschreiben, dass die mathematischen Einzelbestandteile addiert werden

Quantentheorie

In der Quantentheorie gilt das Superpositionsprinzip sehr allgemein und exakt für abgeschlossene Systeme (die per definitionem nicht mit ihrer "Umgebung" verschränkt sind). Das bedeutet erstens, dass sich zwei beliebige Zustände (zu einer bestimmten Zeit) mit beliebigen komplexen Koeffizienten superponieren lassen und dadurch einen neuen möglichen Zustand definieren, und zweitens, dass sie bereits eine neue Lösung der Schrödingergleichung bilden, wenn sie einzeln als solche Lösungen in der Zeit fortgesetzt werden. Beispielsweise bildet die Superposition aller möglichen Positionen eines "Massenpunktes" eine Wellenfunktion im Raum, wobei verschiedene Wellenfunktion sich wiederum superponieren lassen. Jedoch sind quantenmechanische Superpositionen allgemein im Konfigurationsraum definiert (also nichtlokal).

Elektrotechnik

In der Elektrotechnik existiert das Superpositionsprinzip, oder auch der Überlagerungssatz ebenfalls. In einem Netzwerk aus beliebig vielen Bauelementen und beliebig vielen Quellen lässt sich das vollstandige Netzwerk mit allen Spannungen und Strömen berechnen. Hierzu werden alle Quellen bis auf eine zu Null gesetzt und die Leitung bei Spannungsquellen kurzgeschlossen, bei Stromquellen aufgetrennt. Jetzt kann für jede einzelne Quelle die vollständige Schaltung berechnet werden. Anschließend werden alle Ergebnisse unter Beachtung der Vorzeichen addiert. Die Ergebnisse sind die Spannungen und Ströme im realen Netzwerk. Natürlich funktioniert dieses Prinzip nur bei linearen Bauteilen in der Schaltung.

siehe auch

See also: Superpositionsprinzip, Amplitude, Elektrische Spannung, Elektrischer Strom, Elektrotechnik, Energie, Fourier-Analyse, Fourier-Transformation, Frequenz, Gewöhnliche Differentialgleichung