Syllogismus
Die Syllogismen (Mehrzahl von Syllogismus) bilden den Kern der klassischen Logik des Aristoteles in den Analytiken (Analytica Priora, Analytica Posteriora). Sie sind ein Katalog von Typen logischer Schlussfolgerungen.
Diese Folgerungen sind immer nach dem gleichen Muster aufgebaut. Jeweils zwei Prämissen (Voraussetzungen), genannt Obersatz und Untersatz ergeben eine Konklusion (Schlussfolgerung).
Innerhalb dieser drei kategorischen Urteile werden wiederum drei Begriffe verwendet, die der Syllogismus in Beziehung setzt: das Prädikat (P), das auf der rechten Seite der Konklusion und im Obersatz vorkommt, das Subjekt (S), das auf der linken Seite der Konklusion und im Untersatz vorkommt, und der Mittelbegriff (M), der im Obersatz und im Untersatz, nicht aber in der Konklusion vorkommt.
Beispiel
- Prämisse 1 (oder Obersatz): Alle Menschen (M) sind sterblich (P).
- Prämisse 2 (oder Untersatz): Sokrates (S) ist ein Mensch (M).
- Konklusion (oder Schlusssatz): Also ist Sokrates (S) sterblich (P).
Der Syllogismus setzt also zwei zunächst nicht verbundene Begriffe (P und S) über den Mittelbegriff (M) in eine logisch gültige Beziehung, indem er von logisch gültigen Beziehungen jeweils eines Einzelbegriffes zum Mittelbegriff ausgeht.
Typen von Aussagen
Eine Aussage in einem Syllogismus setzt immer zwei Begriffe in eine Beziehung (kategorisches Urteil). Dabei werden nur vier Typen von Urteilen bezüglich der Beziehung zwischen einem Subjekt (S) und einem Prädikat (P) betrachtet:
- A - das allgemein bejahende Urteil - "alle S sind P"
- E - das allgemein verneinende Urteil - "kein S ist P"
- I - das partikulär bejahend Urteil - "einige S sind P"
- O - das partikulär verneinde Urteil - "einige S sind nicht P"
Die Vokale stammen dabei aus den lateinischen Worten "affirmo" (ich bejahe) und "nego" (ich verneine), wobei jeweils der erste Vokal für ein allgemeines, der zweite für ein partikuläres Urteil steht.
Zwei Aussagen bilden einen kontradiktorischen Gegensatz genau dann, wenn beide weder zusammen wahr noch zusammen falsch sein können; A – O und I – E. Dann ist die zweite Aussage die Negation der ersten und es gilt für beide der Satz vom ausgeschlossenen Dritten
Zwei Aussagen bilden einen konträren Gegensatz genau dann, wenn sie zwar nicht beide wahr, wohl aber beide falsch sein können; A – E.
Zwei Aussagen bilden einen subkonträren Gegensatz genau dann, wenn sie zwar nicht beide falsch, wohl aber beide wahr sein können; I – O.
Es ergibt sich das logische Quadrat: A konträr E, I subkonträr O.
Figuren
Welche der drei Begriffe S, P und M in einer Aussage des Syllogismus vorkommen müssen, ist festgelegt: Der Obersatz besteht aus P und M, der Untersatz aus S und M, die Konklusion aus S und P. Die Konklusion hat dabei immer die Form S - P, die Anordnung der Begriffe in den Prämissen kann frei gewählt werden. Je nach Anordnung unterscheidet man die vier Figuren:
- 1. Figur: M - P, S - M, S - P
- 2. Figur: P - M, S - M, S - P
- 3. Figur: M - P, M - S, S - P
- 4. Figur: P - M, M - S, S - P
Beispiel:
- Prämisse 1 (oder Obersatz): Alle Menschen (M) sind sterblich (P).
- Prämisse 2 (oder Untersatz): Sokrates (S) ist ein Mensch (M).
- Konklusion (oder Schlusssatz): Also ist Sokrates (S) sterblich (P).
- Aufgrund der Stellung der Begriffe M - P, S - M, S - P erkennt man einen Syllogismus der 1. Figur.
Modi (Kombinationen)
Es gibt in jeder Figur mehrere Modi (auch: Kombinationen), die sich voneinander durch die Typen der auftretenden Urteile unterscheiden. Jeder der drei Aussagen im Syllogismus kann von einem der Typen A bis D sein. Bei vier Figuren und vier Typen ergeben sich also 64 Kombinationsmöglichkeiten. Ein Modus wird durch drei Buchstaben beschrieben. Dabei stehen die ersten beiden Buchstaben für die Typen der Prämissen, der dritte Buchstabe für den Typ der Konklusion.
Beispiel:
- Prämisse 1 (oder Obersatz): Alle Menschen (M) sind sterblich (P).
- Prämisse 2 (oder Untersatz): Sokrates (S) ist ein Mensch (M).
- Konklusion (oder Schlusssatz): Also ist Sokrates (S) sterblich (P).
- Alle drei Aussagen sind vom Typ A, also ist das ein AAA-Syllogismus.
Mit Hilfe der Regeln des einfachen kategorischen Syllogismus erkennt man 24 Typen von korrekten Schlüssen, die folgende Namen tragen:
- 1. Figur: Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbari, Celaront
- 2. Figur: Cesare, Camestres, Festino, Baroco, Cesaro, Camestros
- 3. Figur: Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferison
- 4. Figur: Bamalip, Calemes, Dimatis, Fesapo, Fresison, Calemos
Dabei bezeichnen die Vokale die Typen der Aussagen in der Reihenfolge Obersatz, Untersatz, Konklusion. Die Konsonanten geben an, aus welchem Syllogismus der 1. Figur (1. Buchstabe) und durch welche Veränderung (jeweils auf Vokal folgender Konsonant) die Syllogismen der anderen Figuren hergeleitet werden können.
- Siehe auch: Modus eines Syllogismus
Syllogismen im Kontext der modernen Mathematik
Die klassischen Syllogismen lassen sich heute als Anwendung der umfassenderen Prädikatenlogik verstehen. Auch lassen sie sich als Mengenbeziehungen darstellen.
Beispiel:
Syllogismus:
- Alle Menschen sind sterblich.
- Sokrates ist ein Mensch.
- Also ist Sokrates sterblich.
mengenmäßig:
- Menschen ist eine Untermenge von Sterbliche.
- Sokrates ist ein Element von Menschen
- Also ist Sokrates ein Element von Sterbliche.
prädikatenlogisch:
Metathesis praemissarum
metathesis praemissarum (lat.) bezeichnet eine logische Operation im Syllogismus. Durch diese Operation werden die Prämisse minor und die Prämisse major miteinander vertauscht.
Ex mere negativis nihil sequitur
Ex mere negativis nihil sequitur (lat. Allein aus verneinten Aussagen können keine Schlüsse gezogen werden): bezeichnet eine Logikregel, nach der ein einfacher kategorischer Syllogismus nicht nur verneinende oder partikuläre Prämissen enthalten darf.
Aus den Prämissen "Ein Planet hat keine eigenen Lichtquellen" und "Die Sonne ist kein Planet" kann z.B. kein wahrer Schlusssatz gewonnen werden. Oder auch: Aus den Prämissen "Einige Säugetiere leben im Wasser" und "Einige Tiere, die auf dem Land leben, sind Säugetiere" kann ebenfalls kein wahrer Schlusssatz im Syllogismus abgeleitet werden.
Beispiele und Anmerkungen
Zur ersten Figur des kategorischen Syllogismus
Der Schluss der ersten Figur hat die Form MxP und SyM => SzP.
Die erste Figur besitzt folgende vier Modi (auch: Kombinationen) mit den Namen:
AAA - Modus Barbara
- Beispiel
- Alle Rechtecke sind Vierecke
- Alle Quadrate sind Rechtecke
- Es folgt: Alle Quadrate sind Vierecke
EAE - Modus Celarent
- Beispiel
- Kein Rechteck ist ein Kreis
- Alle Quadrate sind Rechtecke
- Es folgt: Also ist kein Quadrat ein Kreis
AII - Modus Darii
- Beispiel
- Alle Quadrate sind Rechtecke
- Einige Rhomben sind Quadrate
- Es folgt: Einige Rhomben sind Rechtecke
EIO - Modus Ferio
- Beispiel
- Kein Säugetier atmet durch Kiemen
- Einige Wassertiere sind Säugetiere
- Es folgt: Einige Wassertiere atmen nicht durch Kiemen
Zur zweiten Figur des kategorischen Syllogismus
Der Schluss der zweiten Figur hat die Form # 2. Figur: PxM und SyM => SzP.
Die zweite Figur besitzt folgende vier Modi (auch: Kombinationen) mit den Namen:
EAE - Modus Cesare
AEE - Modus Camestres
EIO - Modus Festino
AOO - Modus Baroco
Zur dritten Figur des kategorischen Syllogismus
Der Schluss der dritten Figur hat die Form MxP und MyS => SzP.
Die dritte Figur besitzt folgende sechs Modi (auch: Kombinationen) mit den Namen:
AAI - Modus Darapti
- Beispiel
- Alle Quadrate sind Vierecke
- Alle Quadrate sind Rechtecke
- Es folgt: Einige Vierecke sind Rechtecke
Dieser Syllogismus setzt voraus, dass eine All-Aussage eine Existenzaussage impliziert, im Gegensatz zur modernen Prädikatenlogik. Damit läßt sich in der Prädikatenlogik leicht ein Beispiel konstruieren für das dieser Schluss falsch ist, z.B. wenn man einen Pegasus als ein geflügeltes Pferd definiert:
- Alle Pegasi sind Pferde
- Alle Pegasi sind geflügelt
- Es folgt: Einige Pferde sind geflügelt
IAI - Modus Disamis
AII - Modus Datisi
EAO - Modus Felapton
OAO - Modus Bocardo
EIO - Modus Ferison
Zur vierten Figur des kategorischen Syllogismus
Der Schluss der vierten Figur hat die Form PxM und MyS => SzP.
Die vierte Figur besitzt folgende fünf Modi (auch: Kombinationen) mit den Namen:
AAI - Modus Bamalip
- Beispiel
- Alle Quadrate sind Rechtecke
- Alle Rechtecke sind Vierecke
- Es folgt: Einige Vierecke sind Quadrate
Dies ist ein Syllogismus, der voraussetzt, dass eine Allaussage zugleich die Existenz aussagt, d.h. "Alle Quadrate sind Rechtecke" impliziert die Existenz von Quadraten, dies weicht von der Sematik des All-Quantors in der formalen Logik ab.
AEE - Modus Camenes
IAI - Modus Dimaris
- Einige Rhomben sind Rechtecke
- Alle Rechtecke sind Parallelogramme
- Es folgt: Einige Parallelogramme sind Rhomben (Nämlich die Quadrate)
EAO - Modus Fesapo
EIO - Modus Fresion
Syllogismen
- Epicherem - Syllogismus, in dem jede Prämisse ihrerseits ein Syllogismus ist, allerdings nach Art eines Enthymem verkürzt
- Episyllogismus - Syllogismus, in dem der Schlußsatz eines vorangehenden Syllogismus als erste Prämisse erscheint.
- Prosyllogismus
Literatur
- Aristoteles: Organon. 4 Teile in 3 Bänden, Meiner 2001, ISBN 3787315969
- Günther Patzig: Die aristotelische Syllogistik. Logisch-philologische Untersuchung über das Buch A der "Ersten Analytik". 3. Aufl., Göttingen, 1969
Siehe auch
- Regeln des einfachen kategorischen Syllogismus
- Sorites
- Ambae affirmantes nequeunt generare negantem
- Fehler im Syllogismus
- Logischer Fehler
- Nihil sequitur geminis ex particularibus unquam
- Expositionale Syllogistik
- Sophismus des kollektiven Mittelbegriffs
- Korrektheit und Wahrheit
- Nequaquam medium capiat conclusio fas est