Tangens

thumb|Graph der Tangensfunktion Der Tangens ist eine trigonometrische Funktion und spielt in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten eine herausragende Rolle.

$\mbox{Tangens eines Winkels} = \frac{\mbox{Gegenkathete des Winkels}}{\mbox{Ankathete des Winkels}}$

Inhaltsverzeichnis

1 Definition

2 Anwendung

3 Beziehungen zu anderen Funktionen

3.1 Lineare Funktionen
3.2 Sinus und Kosinus
3.3 Kotangens
3.4 Taylorreihe
3.5 Ableitung
3.6 Stammfunktion
3.7 Umkehrfunktion

4 Differentialgleichung

Definition

right|Ein rechtwinkliges Dreieck In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines Winkels α das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete:

$\tan(\alpha)=\frac{l_{\rm GK}}{l_{\rm AK}}=\frac{a}{b}$
Wobei l_GK=Länge der Gegenkathete, l_AK=Länge der Ankathete

Anwendung

Die als Steigung einer Straße angegebene Prozentzahl ist gerade der Tangens des Steigungswinkels.

Beziehungen zu anderen Funktionen

Lineare Funktionen

Der Tangens hat eine große Bedeutung im Bereich linearer Funktionen: Für die Funktion y = mx + b liefert der Tangens nämlich für den Winkel zwischen der von der Funktion erzeugten Geraden und der Abszisse genau die Steigung m, d.h.

$m = tan(α)$ .

Sinus und Kosinus

Es gilt weiterhin folgende Beziehung zur Sinus- und Kosinusfunktion:

$\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Kotangens

Der Tangens ist der Kehrwert des Kotangens:

$\tan(x)=\frac{1}{\cot(x)}$

Taylorreihe

Der Anfang der Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt x = 0 (MacLaurinsche Reihe) lautet:

$\tan(x)=x+\frac13 x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+\cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} \cdot (2^{2n} -1)}{(2n)!} \cdot B_n \cdot x^{2n - 1}$

Dabei sind die $B n$ die Bernoulli-Zahlen

Ableitung

Die Ableitung des Tangens lautet:

$\frac{d}{dx}\tan(x)=\frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x).$

Stammfunktion

Seine Stammfunktion lautet: $\int \tan(x) \, dx=-\ln(\cos(x)) +C.$

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion des Tangens heißt Arcustangens (arctan) und liefert den ursprünglichen Winkel (lat. Arcus) α.

$\alpha = \arctan \! \left( \frac{a}{b} \right)$

Differentialgleichung

Der Tangens ist eine Lösung der Riccatischen Differentialgleichung

$w' = 1 + w 2$

Faktorisiert man die rechte Seite, so erhält man

$w' = 1 + w 2 = (w + i)(w - i)$

Der Tangens (als komplexe Funktion) hat die Picardschen Ausnahmewerte i, -i. Das heisst: diese Werte werden niemals angenommen. Dies liegt daran, dass die Konstanten Funktionen i, -i Lösungen der Differentialgleichung sind und der Existenz- und Eindeutigkeitssatz ausschliesst, das 2 Lösungen durch denselben Punkt gehen.

Siehe auch: Kotangens, Tangens Hyperbolicus

Kategorie:Analytische Funktion Kategorie:Trigonometrie