Teilbarkeit

Teilbarkeit ist eine algebraische Eigenschaft von ganzen Zahlen. Eine ganze Zahl ist genau dann durch eine andere teilbar, wenn bei der Division kein Rest verbleibt, also die "Geteilt"-Rechnung aufgeht. So ist beispielsweise die Zahl 8 teilbar durch 4, da 8:4 genau 2 ergibt, während dagegen die Zahl 9 nicht durch 4 (ganzzahlig) teilbar ist, weil die 4 zweimal in die 9 geht, aber als Rest 1 übrig bleibt.

Inhaltsverzeichnis

1 Formale Definition

2 Beispiele für Teilbarkeit

3 Eigenschaften der Teilbarkeit

4 Teilbarkeitsregeln im Dezimalsystem

5 Teilbarkeitsregeln im Binärsystem

6 Teilbarkeitsregeln im beliebigen Zahlensystemen

7 Verallgemeinerung des Teilbarkeitsbegriffs

7.1 Kommutative Ringe

8 Siehe auch

Formale Definition

Eine ganze Zahl $a\neq 0$ teilt eine ganze Zahl b genau dann, wenn es mindestens eine ganze Zahl n gibt, für die gilt: a·n = b. Man sagt dann auch "a ist Teiler von b", "b ist teilbar durch a", "b ist Vielfaches von a" und schreibt formal a | b.

Einige Mathematiker erlauben, dass die Zahl a auch 0 sein kann. Das einzige Vielfache der 0 ist dann die 0 selbst.

Ist a keiner der trivialen Teiler $\pm 1, \pm b$ , so nennt man a einen nichttrivialen Teiler von b. Ist $a\neq b$ , dann ist $a$ ein echter Teiler von $b$ . Eine natürliche Zahl ungleich 1, die nur die trivialen Teiler besitzt, nennt man Primzahl. Eine Primzahl die ein Teiler einer Zahl ist, nennt man kurz Primteiler.

Beispiele für Teilbarkeit

3 | 6 (also 3 ist Teiler von 6)
105 | 457380
-2 | 8
1 | -17
5 | 0.
Jede Zahl besitzt mindestens ihre trivialen Teiler, insbesondere sind 1 und -1 Teiler jeder ganzen Zahl.
Jede ganze Zahl (je nach Definition außer der 0) ist ein Teiler der 0.
Jede ganze Zahl (je nach Definition außer der 0) teilt sich selbst.
Der kleinste positive Teiler $\neq 1$ einer ganzen Zahl ist ein Primteiler.

Eigenschaften der Teilbarkeit

Gilt a | b für ganze Zahlen a und b, so gilt auch -a | b und a | -b.

Man kann sich also bei der Untersuchung des Teilbarkeitsbegriffs auf natürliche Zahlen beschränken.

Gilt a | b und b | c, so folgt a | c.
Für k ≠ 0 gilt a | b ⇔ ka | kb.
Gilt a | b und c | d, so gilt auch ac | bd.
Gilt a | b und a | c, so gilt auch a | ib + jc für alle Ganze Zahlen i,j.
Gilt a | b und b | a so ist a = b

Die natürlichen Zahlen sind mit der Teilbarkeitsrelation eine partiell geordnete Menge, sogar ein vollständiger distributiver Verband, dessen Verknüpfungen durch kgV und ggT gegeben sind. Das kleinste Element ist die 1 (1 teilt jedes andere), das größte ist die 0 (0 wird von jedem anderen geteilt).

Teilbarkeitsregeln im Dezimalsystem

Begriffsdefinitionen:
Nichtalternierende n-Quersumme: Ziffernfolge von hinten in Gruppen zu n Ziffern zerlegen, diese Zifferngruppen addieren.
Beispiel nichtalternierende 2er-Quersumme: 16134523 = 16 13 45 23 = 16 + 13 + 45 + 23 = 97

Alternierende n-Quersumme: Ziffernfolge von hinten in Gruppen zu n Ziffern zerlegen, diese Zifferngruppen abwechseln addieren und subtrahieren.
Beispiel alternierende 2er-Quersumme: 16134523 = 16 13 45 23 = 16 - 13 + 45 - 23 = 25

Für die Teilbarkeit ganzer Zahlen im Dezimalsystem gibt es eine Reihe von Teilbarkeitsregeln.

Eine Zahl ist durch 2 teilbar genau dann, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8).
Eine Zahl ist durch 3 teilbar genau dann, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 4 teilbar genau dann, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 5 teilbar genau dann, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (0 oder 5).
Eine Zahl ist durch 6 teilbar genau dann, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 7 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 7 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 8 teilbar genau dann, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 9 teilbar genau dann, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 10 teilbar genau dann, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.
Eine Zahl ist durch 11 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 1er-Quersumme durch 11 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 11 teilbar genau dann, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 11 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 11 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 11 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 12 teilbar genau dann, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 13 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 13 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 14 teilbar genau dann, wenn sie durch 2 und durch 7 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 15 teilbar genau dann, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 16 teilbar genau dann, wenn die Zahl, die aus ihren letzten vier Ziffern gebildet wird, durch 16 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 18 teilbar genau dann, wenn sie durch 2 und durch 9 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 20 teilbar genau dann, wenn ihre vorletzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8) und ihre letzte Ziffer 0 ist.
Eine Zahl ist durch 21 teilbar genau dann, wenn sie durch 3 und durch 7 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 22 teilbar genau dann, wenn sie durch 2 und durch 11 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 24 teilbar genau dann, wenn sie durch 3 und durch 8 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 25 teilbar genau dann, wenn sie ihre letzten beiden Ziffern 00, 25, 50 oder 75 sind.
Eine Zahl ist durch 26 teilbar genau dann, wenn sie durch 2 und durch 13 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 27 teilbar genau dann, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 27 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 28 teilbar genau dann, wenn sie durch 4 und durch 7 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 30 teilbar genau dann, wenn sie durch 5 und durch 6 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 32 teilbar genau dann, wenn die Zahl, die aus ihren letzten fünf Ziffern gebildet wird, durch 32 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 33 teilbar genau dann, wenn sie durch 3 und durch 11 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 35 teilbar genau dann, wenn sie durch 5 und durch 7 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 36 teilbar genau dann, wenn sie durch 4 und durch 9 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 37 teilbar genau dann, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 37 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 39 teilbar genau dann, wenn sie durch 3 und durch 13 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 40 teilbar genau dann, wenn die Zahl, die aus der drittletzten und vorletzten Ziffer gebildet wird, durch 4 teilbar ist und die letzte Ziffer eine 0 ist.
Eine Zahl ist durch 42 teilbar genau dann, wenn sie durch 6 und durch 7 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 44 teilbar genau dann, wenn sie durch 4 und durch 11 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 45 teilbar genau dann, wenn sie durch 5 und durch 9 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 48 teilbar genau dann, wenn sie durch 3 und durch 16 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 50 teilbar genau dann, wenn die Zahl auf 00 oder 50 endet.
Eine Zahl ist durch 52 teilbar genau dann, wenn sie durch 4 und durch 13 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 54 teilbar genau dann, wenn sie durch 2 und durch 27 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 73 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 4er-Quersumme durch 73 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 77 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 77 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 91 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 91 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 99 teilbar genau dann, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 99 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 101 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 2er-Quersumme durch 101 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 111 teilbar genau dann, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 111 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 137 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 4er-Quersumme durch 137 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 143 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 143 teilbar ist.

Eine Zahl ist durch 2ⁿ teilbar genau dann, wenn die Zahl, die aus ihren letzten n Ziffern gebildet wird, durch 2ⁿ teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 2^m5ⁿ teilbar genau dann, wenn die Zahl, die aus ihren letzten max(m,n) Ziffern gebildet wird, durch 2^m5ⁿ teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 5ⁿ teilbar genau dann, wenn die Zahl, die aus ihren letzten n Ziffern gebildet wird, durch 5ⁿ teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 10ⁿ teilbar genau dann, wenn ihre letzten n Ziffern jeweils 0 sind.

Teilbarkeitsregeln im Binärsystem

Teilbarkeitsregeln im beliebigen Zahlensystemen

Gegeben sei ein Zahlensystem zur Basis B.

Es lassen sich Teilbarkeitsregeln für Teiler T finden, die sich in eine teilerfremde Faktorenzerlegung möglichst kleiner Zahlen zerlegen läßt, die Teiler von Bⁿ, Bⁿ-1 oder Bⁿ+1 sind. n sollte dabei möglichst klein sein, für Kopfrechnen sind nur Werte bis maximal 4 sinnvoll.

B=2: Teiler 2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,21,31,32,33,63,64,65, ...
B=3: Teiler 2,3,4,5,7,8,9,10,13,14,16,20,26,27,28,40,41,80,81,82, ...
B=4: siehe B=2
B=5: Teiler 2,3,4,5,6,7,8,9,12,13,14,18,24,25,26,31,39,62,63,78,124,125,126,156,312,313,624,625,626,...

Die folgenden Teilbarkeitsregeln benutzen andere Stellenwertsysteme:

Eine Zahl ist durch eine Zahl der Form 2ⁿ-1 teilbar genau dann, wenn bei der Darstellung zur Basis 2ⁿ die Quersumme durch 2ⁿ-1 teilbar ist. Die Darstellung zur Basis 2ⁿ ergibt sich leicht aus der Darstellung der Zahl im Dualsystem. Dazu wird die Zahl rechts beginnend in Gruppen von n Stellen eingeteilt, der Dezimalwert der einzelnen Gruppen entspricht nun den Werten der Ziffern in der Darstellung zur Basis 2ⁿ. Zum Beispiel ist 91₁₀ durch 7₁₀ = 2³-1 teilbar, weil 91₁₀ = 001 011 011₂ = 133₈ im Oktalsystem (Basis 2³) die Quersumme 1₈+3₈+3₈ = 7₁₀ hat.
Eine Zahl ist durch 27 teilbar genau dann, wenn ihre Quersumme zur Basis 1000 durch 27 teilbar ist. Diese Quersumme kann man erhalten, indem man ihre dezimale Darstellung rechts beginnend in Dreierblöcke einteilt und die Summe dieser Blöcke bildet.
Eine Zahl ist durch n teilbar genau dann, wenn ihre Darstellung als n-badische Zahl mit einer 0 endet.

Weitere Teilbarkeitseigenschaften findet man im Artikel Kongruenz (Zahlentheorie).

Verallgemeinerung des Teilbarkeitsbegriffs

Kommutative Ringe

Den Teilbarkeitsbegriff kann man auf kommutative Ringe erweitern. Ein Ring ist eine algebraische Struktur in der, ähnlich wie in ganzen Zahlen, Addition und Multiplikation definiert sind und eine allgemeine Subtraktion als Umkehr der Addition möglich ist (für eine genaue Definition siehe der Artikel über Ringtheorie). Die Definition von Teilbarkeit in natürlichen und ganzen Zahlen wird hier direkt übernommen:

Ist R ein kommutativer Ring und sind a, b ∈ R Ringelemente, dann ist a ein Teiler von b, falls ein weiteres Ringelement n ∈ R existiert mit a·n = b.

In Ringen teilt a genau dann b, wenn das von a erzeugte Hauptideal (a) das von (b) erzeugte umfasst, formal: a | b ⇔ (a) ⊇ (b).

Ein einfaches Beispiel aus den ganzen Zahlen: Das von 2 erzeugte Hauptideal (2) ist die Menge aller Vielfachen von 2, (4) dementsprechend die Menge aller Vielfachen von 4. (2) ⊇ (4), also ist 2 ein Teiler von 4.

Meist macht man Teilbarkeitsuntersuchungen in kommutativen Ringen, die eine neutrales Element 1 enthalten und nullteilerfrei sind, diese Ringe heißen Integritätsringe.

In Strukturen, in denen auch eine allgemeine Division als Umkehr der Multiplikation möglich ist (Körper und Schiefkörper), wie beispielsweise in den reellen Zahlen, ist die Theorie der Teilbarkeit trivial: Jede Zahl (bzw. jedes Körper-Element) ist durch jede andere Zahl außer 0 teilbar.