Tensoralgebra

Die Tensoralgebra ist ein mathematischer Begriff, der in vielen Bereichen der Mathematik wie der linearen Algebra, der Algebra, der Differentialgeometrie sowie in der Physik verwendet wird. Sie fasst "alle Tensoren" über einem Vektorraum in der Struktur einer graduierten Algebra zusammen.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition

2 Universelle Eigenschaft

3 Beispiel

4 Verwandte Begriffe

Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ oder allgemeiner ein Modul über einem kommutativen Ring mit Einselement. Dann ist die Tensoralgebra

$\mathrm TV=\bigoplus_{n\geq0}V^{\otimes n}=K\oplus V\oplus(V\otimes V)\oplus(V\otimes V\otimes V)\oplus\ldots$

Mit der Multiplikation, die auf den homogenen Bestandteilen durch das Tensorprodukt gegeben ist, wird $T V$ zu einer unitären assoziativen Algebra.

Universelle Eigenschaft

Ist $A$ eine $K$ -Algebra, so gibt es eine kanonische Bijektion zwischen den $K$ -linearen Abbildungen

$V\to A$

und den $K$ -Algebrenhomomorphismen

$\mathrm TV\to A.$

Beispiel

Ist $V$ ein $n$ -dimensionaler $K$ -Vektorraum (bzw. ein freier Modul vom Rang $n$ ), so ist $T V$ isomorph zur freien assoziativen Algebra über $K$ in $n$ Unbestimmten.

Tensoralgebra

Definition

Universelle Eigenschaft

Beispiel

Verwandte Begriffe

See also: Tensoralgebra, Algebra, Algebra (Struktur), Assoziative Algebra, Clifford-Algebra, Differentialgeometrie, Freier Modul, Graduierung (Algebra), Körpertheorie, Lineare Abbildung