Topologischer Raum

topologischer Raum

berührt die Spezialgebiete

Mathematik
- Topologie

ist Spezialfall von

Mengensystem

umfasst als Spezialfälle

parakompakter Raum
- kompakter Raum
Kolmogoroff-Raum
präregulärer-Raum
- Hausdorff-Raum
  - parakompakter Hausdorff-Raum

Ein Topologischer Raum ist der grundlegende Gegenstand der Teildisziplin Topologie der Mathematik. Er besteht aus einer beliebigen Menge, der durch Spezifizierung einer so genannten Topologie eine abstrakte mathematische Raumstruktur aufgeprägt wird.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition

2 Beispiele

3 Sprechweise

4 Erzeugung topologischer Räume

5 Literatur

6 Links

Definition

Eine Topologie ist eine Familie $\mathfrak{T}$ offener Teilmengen der Grundmenge X, die folgenden Axiomen genügt:

Die leere Menge und die Grundmenge X sind offene Mengen.
Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist eine offene Menge.
Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist eine offene Menge.

Eine Menge X zusammen mit einer Topologie auf X heißt topologischer Raum. Eine Teilmenge von X, deren Komplement eine offene Menge ist, heißt abgeschlossen.

Eine Topologie $\mathfrak{T}1$ ist feiner als eine Topologie $\mathfrak{T}2$ , wenn jede offene Menge von $\mathfrak{T}2$ auch offen in $\mathfrak{T}1$ ist. $\mathfrak{T}2$ heißt dann gröber als $\mathfrak{T}1$ .

Weitere Begriffe im Zusammenhang mit topologischen Räumen sind im Topologie-Glossar zusammengefasst.

Beispiele

Auf jeder Grundmenge existieren als triviale Beispiele von Topologien:
1. Die indiskrete (oder chaotische oder Klumpen-) Topologie, die nur die leere Menge und die Grundmenge enthält.
2. Die diskrete Topologie, die alle Teilmengen enthält.
Das System der offenen Teilmengen eines metrischen Raums ist eine Topologie.
Als etwas ungewöhnlicheres Beispiel existiert auf einer unendlichen Menge $M$ (z.B. der Menge $\mathbb{N}$ der natürlichen Zahlen) die kofinite Topologie: Offen sei die leere Menge sowie jede Teilmenge von $M$ , deren Komplement nur endlich viele Elemente enthält.

Sprechweise

Im Hinblick auf geometrische Anwendungen werden die Elemente der Grundmenge oft als Punkte bezeichnet.

Umgebungen eines Punktes werden dann definiert als Obermengen von offenen Mengen, die den Punkt enthalten.

Umgekehrt charakterisieren die Umgebungen die offenen Mengen:

Eine Menge ist offen genau dann, wenn sie mit jedem ihrer Punkte auch eine Umgebung dieses Punktes enthält. (Dieser Satz erklärt die Verwendung des Wortes offen für den oben definierten mathematischen Begriff.)

Erzeugung topologischer Räume

Jeder Teilmenge Y der Grundmenge X einer bestehenden Topologie kann eine Unterraumtopologie zugeordnet werden. Dabei sind die offenen Mengen gerade die Schnitte der offenen Mengen der bestehenden Topologie mit der Teilmenge Y.
Bei jeder Familie von topologischen Räumen kann dem Produkt der Grundmengen die Produkttopologie zugeordnet werden. Bei endlichen Produkten werden die offenen Mengen durch die Produkte der offenen Mengen gebildet.
Eine Quotiententopologie entsteht durch „Verkleben“ von Topologischen Räumen.
Vietoris-Topologie
Zariski-Topologie

Literatur

Klaus Jänich: Topologie. 6. Auflage, Springer, Berlin 1999, ISBN 3540653619
Boto v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2001, ISBN 3540677909
Horst Schubert: Topologie. Teubner, Stuttgart 1964, ISBN 3519122006

Links

Weitere mathematische Räume siehe unter Raum (Mathematik)