Unitäre Gruppe
Unitäre Gruppen sind ein mathematischer Begriff. Sie spielen eine zentrale Rolle in Quantentheorie.
Mathematische Definition
Betrachten wir einen Hilbertraum H. Die unitäre Gruppe U(H) ist die Gruppe aller komplex linearen Abbildungen, die unitär sind. Eine Abbildung
heißt unitär, wenn sie bijektiv ist und wenn
β(x,y) = β(u.x,u.y)
für aller x und y in H gilt.
Im allgemeinen Fall ist die unitäre Gruppe mit der Supremumsnorm eine Banachliegruppe.
Man kann die unitäre Gruppe mit der schwachen Operator-Topologie versehen. Diese fällt mit der starken Operator-Topologie zusammen.
Wenn der Hilbertraum H endlichdimensional ist, fallen die beiden oberen Topologien zusammen und sie ist eine reelle Lie-Gruppe. In diesen Falle schreiben wir statt U(H) auch U(n), wobei n die Dimension des komplexen Vektorraumes H ist.