Unitäre Matrix

Als unitäre Matrix bezeichnet man in der Mathematik eine komplexe quadratische Matrix $U \in \mathbb{C}^{n\times n}$ für die ihre hermitesch adjungierte Matrix $U^{\rm H}:=\overline{U}^{\rm T}$ mit ihrer Inversen übereinstimmt, also die Beziehung

U U H = U H U = I

gilt.

Solche Matrizen sind immer normal und daher diagonalisierbar.

Unitäre Matrizen mit reellen Koeffizienten heißen orthogonal, anders gesehen sind sie das komplexe Analogon zu orthogonalen Matrizen.

Das Produkt $U V$ zweier unitärer Matrizen $U$ und $V$ ist ebenfalls wieder unitär:

$\left(UV\right)^{-1}= V^{-1} U^{-1}=\overline{V}^{\rm T}\overline{U}^{\rm T}=\left(\overline{UV}\right)^{\rm T}$

Ist $U$ eine unitäre und $A$ eine idempotente Matrix, also $A A = A$ , so gilt für $B : = U A U H$ die Beziehung

B B = U A U H U A U H = U A A U H = B

;

$B$ ist also ebenfalls idempotent.

Unitäre Matrizen $U$ beschreiben Kongruenzabbildungen, also längen- und winkeltreue Abbildungen; insbesondere lassen sie Skalarprodukte invariant:

$\langle U\mathbf{x},U\mathbf{y}\rangle=\langle x,y\rangle$ .

Daraus folgt, dass alle Eigenwerte unitärer Matrizen den Betrag 1 haben müssen: Sei $λ$ ein Eigenwert und $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$ ein dazugehöriger Eigenvektor, also $U\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ . Dann gilt

$\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\rangle = \langle U\mathbf{x},U\mathbf{x}\rangle = \langle\lambda\mathbf{x},\lambda\mathbf{x}\rangle = \lambda\overline{\lambda}\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\rangle$ ,

Division durch $\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\rangle$ liefert $| λ | = 1$ .

Die Determinante einer unitären Matrix hat ebenfalls den Betrag 1, denn

$1=\det(I)=\det(UU^{\rm H})=\det(U)\overline{\det(U)}$ .

Die Menge aller unitären Matrizen der Ordnung $n$ bildet die unitäre Gruppe $U(n)$ . Die Untergruppe der unitären Matrizen mit Determinante 1 heißt spezielle unitäre Gruppe $SU(n)$ .

Unitäre Matrix

See also: Unitäre Matrix, Determinante, Diagonalmatrix, Eigenvektor, Eigenwert, Glossar mathematischer Attribute, Inverse Matrix, Komplexe Zahlen, Kongruenzabbildung, Mathematik