Supremum

In der Mathematik treten die Begriffe Supremum, Infimum, obere / untere Schranke, nach oben / unten beschränkt bei der Betrachtung halbgeordneter Mengen auf.

Inhaltsverzeichnis

1 Definitionen 2 Eigenschaften 3 Existenz des Supremums für Teilmenge der reellen Zahlen 4 Verallgemeinerung

Definitionen

Ist M eine halbgeordnete Menge und T eine Teilmenge von M so gilt:

• Ein Element b heißt obere Schranke von T, wenn für alle x in T x ≤ b gilt.
• Ein Element b heißt untere Schranke von T, wenn für alle x in T b ≤ x gilt.
• Existiert eine obere Schranke von T, dann heißt T nach oben beschränkt.
• Existiert eine untere Schranke von T, dann heißt T nach unten beschränkt.
• Ist T nach oben und nach unten beschränkt, dann heißt T beschränkt.

• Ein Element b heißt Supremum von T wenn b die kleinste obere Schranke von T ist, d.h. wenn b obere Schranke ist und kleiner ist als alle anderen oberen Schranken von T.

• Ein Element b heißt Infimum von T wenn b die größte untere Schranke von T ist, d.h. wenn b untere Schranke ist und größer ist als alle anderen unteren Schranken von T.

Ist M die Menge der reellen Zahlen so gilt:

• Ist T nach oben beschränkt, dann besitzt T eine kleinste obere Schranke (Beweisidee unten), man nennt sie obere Grenze oder Supremum von T, in Zeichen sup(T).
• Ist T nach unten beschränkt, dann besitzt T eine größte untere Schranke (Beweis analog), man nennt sie untere Grenze oder Infimum von T, in Zeichen inf(T).

• Ist T nach oben beschränkt und liegt das Supremum von T in T, dann bezeichnet man es auch als Maximum von T, in Zeichen max(T).
• Ist T nach unten beschränkt und liegt das Infimum von T in T, dann bezeichnet man es auch als Minimum von T, in Zeichen min(T).

Eigenschaften

Ist b eine obere Schranke von T und c > b, dann ist auch c eine obere Schranke von T. Ist umgekehrt c keine obere Schranke von T und b < c, dann ist auch b keine obere Schranke von T. Analoges gilt für untere Schranken.

Das Supremum von T ist (im Falle seiner Existenz) eindeutig bestimmt. Dasselbe gilt für das Infimum von T.

Eine Teilmenge T der reellen Zahlen ist genau dann beschränkt, wenn es ein Element R gibt, so dass |x| < R für alle x aus T gilt. Man sagt dann, T liegt in der offenen Kugel um 0 mit Radius R. Eine ähnliche Definition der Beschränktheit einer Menge gibt es in einem metrischen Raum.

Existenz des Supremums für Teilmenge der reellen Zahlen

Die Existenz des Supremums für eine Teilmenge der reellen Zahlen kann auf mehrere Arten gezeigt werden:

Zum einen kann man die Existenz von Supremum und Infimum für beschränkte Teilmengen der reellen Zahlen einfach als Axiom festlegen.

Geht man von dem Axiom aus, dass jede Intervallschachtelung genau eine reelle Zahl definiert, dann kann man wie folgt vorgehen: Man konstruiert eine Intervallschachtelung, die das Supremum einschließt. Dazu konstruiert man zwei Folgen, von denen die erste (a_n) monoton wachsend ist und nicht aus oberen Schranken von M besteht, die zweite (b_n) monoton fallend ist und aus oberen Schranken von M besteht, so dass noch gilt, dass die Abstände entsprechender Folgeglieder gegen 0 gehen (indem man jeweils die Intervallmitte betrachtet und entscheidet, ob sie eine obere Schranke ist oder nicht). Damit erhält man den gemeinsamen Grenzwert sup(M) der beiden Folgen als kleinste obere Schranke von M, denn:
Jedes Element von M ist jedem Element b_n der oberen Folge, also sup(M), deshalb ist sup(M) eine obere Schranke. Jede reelle Zahl, die kleiner ist als sup(M), ist kleiner als ein Element der unteren Folge, also keine obere Schranke.

Eine äquivalente Formulierung zur Existenz des Supremums ist das Schnittaxiom, dass jeder Dedekindsche Schnitt von einer reellen Zahl erzeugt wird.

Verallgemeinerung

Auf hat jede beschränkte Teilmenge ein Supremum bzw. Infimum. Betrachtet man andere Mengen, auf denen Ordnungsrelationen definiert sind, so ist dies nicht zwingend:

• Die Menge der rationalen Zahlen ist bezüglich der natürlichen Ordnung total geordnet. Die Menge ist beispielsweise durch die Zahl nach oben beschränkt, hat aber kein Supremum in .
• In der bezüglich Inklusion partiell geordneten Menge ist die Menge sowohl durch das Element als auch durch nach oben beschränkt. Ein Supremum, also eine kleinste obere Schranke von M, existiert in jedoch nicht.

Die Untersuchung von partiell geordneten Mengen, in denen zu jeder zweielementigen Teilmenge ein Supremum und ein Infimum existiert, ist Gegenstand der Verbandstheorie.

See also: Supremum, Axiom, Dedekindscher Schnitt, Halbordnung, Inklusion, Intervallschachtelung, Mathematik, Maximum (Mathematik), Metrischer Raum, Minimum (Mathematik)