Untergruppe

In der Gruppentheorie der Mathematik ist eine Untergruppe eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe $(G, \circ)$ , die bezüglich $\circ$ selbst wieder eine Gruppe bildet.

Äquivalente Definitionen

Es läßt sich folgendes Untergruppenkriterium formulieren: Eine nichtleere Teilmenge $U$ von $G$ ist eine Untergruppe von $G$ , genau dann wenn gilt:

$a,b \in U \Rightarrow a \circ b \in U$
$a \in U \Rightarrow a^{-1} \in U$

Aus diesen beiden Bedingungen folgt insbesondere auch, dass das neutrale Element $\varepsilon$ von $G$ in jeder Untergruppe enthalten sein muss.

Eine weitere äquivalente Forderung ist, dass $U$ eine nichtleere Teilmenge von $G$ ist mit:

$a,b \in U \Rightarrow a \circ b^{-1} \in U$

Je nach Kompliziertheit der Verknüpfung ist es einfacher, die beiden Bedingungen der ersten Formulierung oder die Bedingung der zweiten Formulierung zu beweisen.

Beispiele

Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind bezüglich der Addition eine Untergruppe der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ .
Die Menge der Permutationen ${id,(1,2,3),(1,3,2)}$ ist eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe $S 3$ .

Eigenschaften

Von einer Gruppe $G$ sind stets $G$ selbst sowie die einelementige Gruppe $\{\varepsilon\}$ Untergruppen. Diese werden die trivialen Untergruppen von $G$ genannt. Im Fall $G=\{\varepsilon\}$ sind diese beiden Untergruppen gleich und stellen die einzige Untergruppe dar. Alle anderen Gruppen $G\neq\{\varepsilon\}$ haben mindestens zwei Untergruppen, nämlich die beiden voneinander verschiedenen trivialen.

Die Menge aller Untergruppen einer Gruppe $G$ bildet einen vollständigen Verband, den Untergruppenverband. Die beiden trivialen Untergruppen $\{\varepsilon\}$ und $G$ entsprechen dem Null- bzw. dem Einselement des Verbandes.

Satz von Lagrange: Die Kardinalität jeder Untergruppe $U$ einer endlichen Gruppe teilt die Kardinalität der Gruppe $G$ .

Ist beispielsweise $| G |$ eine Primzahl, so kann die Kardinalität einer Untergruppe $U$ nur 1 oder $| G |$ betragen. Also sind in diesem Falle die trivialen Untergruppen die einzigen Untergruppen von $G$ .

Untergruppen, die unter der Konjugation fest bleiben, heißen Normalteiler. Sie dienen der Erzeugung von Faktorgruppen.

Ist $A$ Untergruppe einer Gruppe $B$ , die ihrerseits Untergruppe von $C$ ist, dann ist $A$ auch Untergruppe von $C$ . (Die entsprechende Aussage für Normalteiler gilt nicht.)

Untergruppe

Äquivalente Definitionen

Beispiele

Eigenschaften

See also: Untergruppe, Addition, Endliche Gruppe, Faktorgruppe, Ganze Zahlen, Gruppe (Mathematik), Gruppentheorie, Konjugation (Mathematik), Mathematik, Mächtigkeit