Varianz

Die Varianz ist in der Statistik ein Streuungsmaß, d.h. ein Maß für die Abweichung einer Zufallsvariable X von ihrem Erwartungswert E(X). Ihr Nachteil ist, dass sie eine andere Einheit als die Daten besitzt. Man verwendet daher oft auch die Standardabweichung, die als Quadratwurzel aus der Varianz definiert ist. Als Bezeichnung für die Varianz wird meist der Ausdruck V(\ldots) oder \mathit{Var}(\ldots) verwendet.

Siehe auch: Varianzanalyse

Inhaltsverzeichnis
1 Definition
2 Rechenregeln

2.1 Verschiebungssatz
2.2 Lineare Transformation
2.3 Varianz von Summen

3 Beispiele

3.1 Diskrete Zufallsvariable
3.2 Stetige Zufallsvariable

4 Verweise
5 Weblinks

Definition

Wenn μ = E(X) der Erwartungswert der Zufallsvariablen X ist, dann berechnet sich die Varianz sowohl für diskrete, wie auch kontinuierliche Zufallsvariablen zu

var(X) = E((X − μ)2)

Die Varianz ist also das zweite zentrale Moment einer Zufallsvariablen.

Die Varianz ist der Durchschnitt der Abweichungsquadrate vom Durchschnitt eines statistischen Merkmals.

In der Statistik existiert die Stichprobenvarianz. Sie ist die Varianz von Beobachtungswerten, die als Stichprobe einer Grundgesamtheit entstammen. Diese Varianz wird in der deskriptiven Statistik als Maß für die Streubreite von Daten verwendet. Als inferentielle Varianz dient sie zur Schätzung der unbekannten Varianz in der Grundgesamtheit. Die Stichprobenvarianz ist unter Standardabweichung oder Schätzen und Testen näher erläutert.

Rechenregeln

Verschiebungssatz

V(X)=E\left(\left(X-E(X)\right)^2\right)=E(X^2)-\left(E(X)\right)^2

Lineare Transformation

V(kX+d)=k^2V\left(X\right)

Varianz von Summen

V(\sum_{i=1}^na_iX_i)=\sum_{i=1}^na_i^2V(X_i)+2\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^na_ia_jCOV(X_i,X_j)

Beispiele

Diskrete Zufallsvariable

Gegeben ist eine diskrete Zufallsvariable X mit den Wahrscheinlichkeiten

i123
xi-112
f(xi)0,50,30,2

Die Varianz berechnet sich dann als

V(X) = (-1-0,2)^2 \cdot 0,5 +(1-0,2)^2 \cdot 0,3 +(2-0,2)^2 \cdot 0,2 = 1,56

wobei der Erwartungswert

E(X) = -1 \cdot 0,5 + 1 \cdot 0,3 + 2 \cdot 0,2 = 0,2

beträgt. Mit dem Verschiebungssatz erhält man entsprechend

V(X) = (-1)^2 \cdot 0,5 +1^2 \cdot 0,3 +2^2 \cdot 0,2 - 0,2^2 = 1,56 \ .

Stetige Zufallsvariable

Eine stetige Zufallsvariable habe die Dichtefunktion

f(x) = \begin{cases} \frac {1}{x} & \mbox{ fuer } 1 \le x \le e \\ 0 & \mbox{ sonst } \end{cases}

Mit dem Erwartungswert

E(X) = \int_1^e x \cdot \frac {1}{x} dx = e - 1

berechnet sich die Varianz mit Hilfe des Verschiebungssatzes als

V(X) = \int_{-\infty}^\infty x^2 \cdot f(x) dx - (E(X))^2 = \int_1^e x^2 \cdot \frac {1}{x} dx - (e - 1)^2
\qquad = \left[ \frac{x^2}{2}\right] _1^e - (e - 1)^2 = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} -(e-1)^2

Verweise

Siehe auch: Kovarianz, Parameter (Statistik), Moment (Statistik), Momenterzeugende Funktion, Charakteristische Funktion

Weblinks

Varianz in Mathworld

Beweis der Darstellung der Varianz unter Binomialverteilung (n*p*(1-p))

See also: Varianz, Abweichung, Charakteristische Funktion, Deskriptive Statistik, Diskrete Zufallsvariable, Erwartungswert, Kovarianz, Lineare Transformation, Moment (Statistik), Momenterzeugende Funktion