Vierervektor

Ein Vierervektor ist ein Vektor in der 4-dimensionalen Raum-Zeit der relativistischen Physik, dessen 4 Koordinaten sich entsprechend der Lorentztransformation kontravariant ändern, wenn er in ein anderes Inertialsystem transformiert wird. Ein Vierervektor ist ein Tensor 1. Stufe.

Die Lorentztransformation beschreibt, wie die von einem Beobachter wahrgenommen Längen und Zeitabstände sich ändern, wenn der Beobachter von dem einen, als ruhend bezeichneten, zu einem zweiten, als bewegt bezeichneten, Inertialsystem übergeht.

Die Folge dieser Transformation ist die Zeitdilatation und die Längenkontraktion von Ereignissen, denn die Lorentz-Transformation verknüpft beide, im Alltag als unabhängig wahrgenommene, Begriffe.

Das Intertialsystem, in dem sich ein Beobachter befindet, wird auch als Bezugssystem bezeichnet. Bezugssysteme sind z.B. die Erde oder ein Raumschiff, das sich relativ zur Erde bewegt (jeweils idealisiert, d.h. real nur für kurze Zeit). Es kann sich aber auch um ein Labor oder ein Elektron handeln, das in diesem Labor eine kreisförmige Bahn beschreibt.

Im folgenden wird gezeigt, wie Vierervektoren in verschiedenen Bezugssystemen dargestellt werden, und wie diese Darstellungen mit der Lorentztransformation zusammenhängen.

Seien S und $S'$ Inertialsysteme. Man kann sich so ein Inertialsystem vereinfacht als eine Plattform vorstellen, die sich mit konstanter Geschwindigkeit durch den (leeren) Raum bewegt. Auf jeder dieser Plattformen befindet sich ein Beobachter. Ein Ort auf der Plattform S werde durch die Koordinaten x,y, eine bestimmte Höhe durch die Koordinate z beschrieben. Der Beobachter hat eine Uhr, die die verstrichene Zeit t misst. Die Plattform definiert also eine Basis in der Raum-Zeit.

Um die Koordinaten x,y,z eindeutig festzulegen, sei der Beobachter auf der Plattform als im Ursprung des Koordiantensystems ruhend angenommen. Das System des ruhenden Beobachters wird mit S bezeichnet. Die räumliche Ausdehnung des Beobachters ist für die folgenden Überlegungen nicht wichtig, somit wird angenommen, dass er sich am Ort mit den Koordinaten x=0 und y=0 befindet.

Ein Ereignis in dem System S wird durch die Koordinaten x,y,z,t beschrieben. Ein solches Ereignis ergibt sich z.B. wenn der Beobachter eine Kerze anzündet. Es geschieht zu einer Zeit t, die Kerze befindet sich dann in einer Höhe z über dem Boden der Plattform, und da sie vom Beobachter angezündet wird, am Standort des Beobachters, d.h. es ist x=0 und y=0.

Relativ zu diesem Beobachter bewege sich eine andere Plattform $S'$ mit konstanter Geschwindigkeit.

Auf der Plattform $S'$ befinde sich ein anderer Beobachter. Er befindet sich relativ zu seiner Plattform in Ruhe und er verwende die Koordinaten $x', y', z', t'$ .

Es wird angenommen, dass sich der Beobachter in $S'$ im Ursprung seines Koordinatensystems befindet und dass die beiden Koordinatensysteme zum Zeitpunkt $t = t' = 0$ deckungsgleich waren.

Inhaltsverzeichnis

1 Ortsvektor

2 Geschwindigkeitsvektor

3 Weitere Vierervektoren

4 Mathematische Behandlung

4.1 Metrik
4.2 Vektoralgebra

4.2.1 Skalarprodukt

5 Literatur

Ortsvektor

Der Ortsvektor des Systems S beinhaltet sowohl die Zeitkoordinate t als auch die Raumkoordinaten x,y,z eines Ereignisses.

In kontravarianter Darstellung sieht er folgendermaßen aus: $(x μ) = (c t, x, y, z)$ und in kovarianter Darstellung: $(x μ) = (c t, - x, - y, - z)$ (gilt so nur in der Speziellen Relativitätstheorie).

Man verwendet die Darstellung ct anstatt t für die Zeitkoordinate, da dann ct und x,y,z die gleiche physikalische Dimension haben. c ist das Symbol für die konstante Vakuum-Lichtgeschwindigkeit.

Dass $(x μ)$ ein Vierervektor ist, ergibt sich daraus, dass er ein Koordinatenvektor zu einer orthonormalen Basis des Minkowski-Raums ist und sich dementsprechend kontravariant mittels einer Lorentz-Transformation bei Basiswechsel ändert. Das Skalarprodukt des Minkowskiraums wird mit obiger Konvention

$(d\tau)^2=g(dx,dx) = g_{\mu\nu}dx^\mu\,dx^\nu := (dx^0)^2-(dx^1)^2-(dx^2)^2-(dx^3)^2 = c^2(dt)^2-(dx^1)^2-(dx^2)^2-(dx^3)^2$

Der adjungierte Vektor zu x, d.h. der x mittels des Skalarprodukts zugeordnete Kovektor=1-Form, hat die kovarianten Koordinaten

x μ = g μν x ν

, also

(x μ) = (c t, - x, - y, - z)

Für eine eindimensionale Bewegung des Systems $S'$ mit der Geschwindigkeit v entlang der x-Achse von S ergibt sich z.B. folgendes Transformationsverhalten:

$x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},y'=y,z'=z,ct'=\frac{ct-\frac{xv}{c}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Die Bedeutung dieser Transformation ist folgende: misst ein Beobachter in S für ein Ereignis in $S'$ eine Zeitdifferenz $t 1 - t 2$ , so misst der Beobachter in $S'$ für das gleiche Ereignis die Zeitdifferenz $t 1' - t 2'$ . Dabei werden $t 1'$ und $t 2'$ entsprechend der oben angegebenen Transformation berechnet.

Für jeden der beschriebenen Beobachter bewegt sich das andere System, während er sich relativ zu seinem System in Ruhe befindet. Entsprechend der allgemein gebräuchlichen Konvention wird S als das ruhende, $S'$ als das bewegte System betrachtet.

Geschwindigkeitsvektor

Der Vierervektor der Geschwindigkeit $(u k)$ ergibt sich durch Differentiation des Ortsvektors $(x k)$ nach der Eigenzeit $d τ$ .

$(u^k)=\frac{d}{d\tau}(x^k)$

In dem Kapitel über Zeitdilatation wird die Bedeutung der Eigenzeit beschrieben.

Da der Ortsvektor bereits ein Vierervektor ist, folgt hieraus, dass auch der Geschwindigkeitsvektor ein Vierervektor sein muss.

Genauere mathematische Begründungen findet man in der Literatur über Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie (vgl. die Literaturhinweise am Ende des Artikels).

Im folgenden wird gezeigt, wie sich der Geschwindigkeitsvektor aus dem Ortsvektor berechnen lässt:

Der Ortsvektor wird folgendermaßen dargestellt: $(x k) = (c t, x, y, z)$

Die Eigenzeit ist folgendermaßen definiert: $d\tau=dt\sqrt{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}$

Die Relationen zwischen der Eigenzeit $d τ$ eines bewegten Systems und der Zeit dt eines ruhenden Beobachters können folgendermaßen geschrieben werden

$d t = γ d τ$ bzw. $d\tau = \frac{1}{\gamma}dt$ mit $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Dabei wurde die in der Speziellen Relativitätstheorie verwendete Größe $γ$ eingeführt.

Mit diesen Voraussetzungen lässt sich nun der Vierervektor der Geschwindigkeit berechnen: $(u^k)=\frac{d(x^k)}{d\tau}=\left(\frac{cdt}{d\tau},\frac{dx}{d\tau},\frac{dy}{d\tau},\frac{dz}{d\tau}\right) =\gamma \left(c,\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}\right)$

Mit den bisher betrachteten Vierervektoren lässt sich die relativistische Mechanik beschreiben (Viererimpuls, Viererkraft). Eine weitere Anwendung der Vierervektoren (insbesondere in der Gestalt von Differentialoperatoren) findet man in der relativistischen Quantenmechanik (Klein-Gordon-Gleichung, Dirac-Gleichung).

Weitere Vierervektoren

Die Energie eines Teilchen $E = m c 2 = p 0 c$ bildet zusammen mit dessen Impuls $\vec{p}$ den Energie-Impuls-Vierervektor.

$p^{\mu}=\left(\frac{E}{c},\vec{p}\ \right)$

In der Elektrodynamik kann man das elektrische Potential $φ$ und das magnetische Potential $\vec{A}$ zu einem Vierervektor zusammenfassen.

$A^{\mu}=\left(\Phi,\vec{A}\ \right)$

Dies gilt auch für die elektrische Ladungsdichte $ρ$ und den elektrischen Stromfluß $\vec J$ .

$J^{\mu}=\left(c\rho,\vec{J}\ \right)$

Durch diese Darstellung wird offensichtlich, dass der Magnetismus nur eine relativistische Erscheinung der Elektrizität ist.

Mathematische Behandlung

Wichtig: Bei den in den nächsten Abschnitten dargestellten Formeln wird davon ausgegangen, dass sowohl für die Zeit- als auch für die Raumkoordinaten die selbe Maßeinheit benutzt wird, so dass die Vakuumlichtgeschwindigkeit c den Wert 1 besitzt.

Metrik

Die Metrik eines Vierervektors wird durch die Formel:

$s^2\,=\,t^2 - x^2 - y^2 - z^2$

definiert.

Dieser Ausdruck entspricht dem Quadrat der Eigenzeit.

Beträg der Wert für $s 2$ grö0er Null, so spricht man von einem zeitartigen Ereignis. Ist er kleiner Null, so spricht man von einem raumartigen Ereignis. Ist der Wert für $s 2$ gleich Null, so wird von einem lichtartigen Ereignis gesprochen.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie existiert eine Metriktensor $g i k$ , so dass gilt:

d s 2 = g i k d x i d x k

Hierbei wird die sogenannte Einsteinsche Summennotation angewandt. Das bedeutet, wenn eine Indexbezeichner mehrfach benutzt wird, so werden die entsprechenden Ausdrücke multipliziert und über dem Bereich, über den sich der Index ersteckt, aufsummiert.

In der Speziellen Relativitätstheorie hat der Metriktensor die folgende Form:

$(g^{ik}) =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

Vektoralgebra

Skalarprodukt

Aufgrund der Tatsache, dass für das Skalarprodukt die Gleichung

$\left|\vec A\right|^2 = \vec A\cdot \vec A$

gilt, ergibt sich für das Skalarprodukt von Vierervektoren folgende Definition:

$A\cdot B = A_t B_t - A_x B_x - A_y B_y - A_z B_z$

Literatur

T.Fliessbach: Allgemeine Relativitätstheorie, BI Wissenschaftsverlag, 1990 (mit einem Kapitel über Spezielle Relativitätstheorie)
Walter Greiner, Johann Rafelski: Spezielle Relativitätstheorie, Verlag Harri Deutsch, 1989

Kategorie:Relativitätstheorie