Wachstum

Als Wachstum bezeichnet man den zeitlichen Anstieg einer bestimmten Messgröße.

Das Gegenteil ist die Abnahme beziehungsweise der Zerfall. In diesem Zusammenhang fällt oft der von der mathematischen Modellierung abgeleitete und umgangssprachlich missverstandene Begriff Negativwachstum.

Unter Wachstum versteht man auch das Größerwerden eines Gegenstandes oder Lebewesens. Das Gegenteil hiervon ist das Schrumpfen.

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiele für wachsende Systeme

1.1 Wachstum in den Raumdimensionen
1.2 somatisches Wachstum
1.3 Wachstum in der Anzahl

1.3.1 Infekt-Modell

1.4 Diffusionsbegrenztes Wachstum
1.5 Wachstum eines Indizes
1.6 Wachstum der Komplexität

2 Mathematische Beschreibung

2.1 Darstellung von Wachstumskurven
2.2 Wachstumsarten
2.3 Wachstumsschwankungen
2.4 Wirtschaftswachstum

3 Weblinks

Beispiele für wachsende Systeme

Wachstum in den Raumdimensionen

Strecken: Wachstum des Schienenstreckennetzes
Flächen: Wachstum der versiegelten Flächen
Volumen: Wachstum eines Luftballons

somatisches Wachstum

Wachstum eines Individuums als Ganzes oder seiner Teile

Beispiel: Längenwachstum des Menschen

Wachstum in der Anzahl

Zunahme der absoluten Menge oder des Prozentsatzes; ein Beispiel dafür ist das Wachstum durch Vermehrung: Bevölkerungswachstum, Bakterienkultur, Geldwachstum

Infekt-Modell

Das Infektmodell ist eine Rückkopplungsfunktion, die Ausbreitungsvorgänge (Krankheiten, Gerüchte, Witze ...) in geschlossenen Populationen beschreibt (s. Bild begrenztes Wachstum). Siehe auch Feigenbaumdiagramm.

Diffusionsbegrenztes Wachstum

Dieses Wachstum kommt durch die zufällige Anlagerung von Teilchen zu Stande. Grundlage dafür ist die Brownsche Molekularbewegung. Das diffusionsbegrenzte Wachstum wurde u.A. Mitte der Achzigerjahre von Leonard M. Sander beschrieben (siehe auch DLA, Diffusion Limited Aggregation).

Beispiele dazu:

Anlagerung von Rußteilchen: Teilchen lagern sich an den Wänden eines Kamins an und bewirken ein Zuwachsen des Rohres

Bildung der Fellzeichnungen bei Zebra, Tiger, Leopard, Tapir

Fraktales Wachstum: Die zufällige Anlagerung bewirkt stark verästelte Strukturen, die an fraktale Strukturen erinnern: Schneeflocke, siehe auch Schneeflockenkurve

Wachstum eines Indizes

Bruttosozialprodukt

Wachstum der Komplexität

Internet, Gehirn

Mathematische Beschreibung

Wachstum ist das zeitliche Verhalten einer System-Größe.

Zunächst wird zu einem bestimmten Zeitpunkt $t 1$ der Wert dieser Größe bestimmt. Zu einem späteren Zeitpunkt $t 2$ wird der Wert dieser Größe wieder bestimmt.

Ist dieser zweite Wert $W (t 2)$ größer als der erste $W (t 1)$ , dann spricht man von positivem Wachstum. Dieser Fall entspricht dem allgemeinen Sprachgebrauch.

Ist $W (t 2)$ kleiner als $W (t 1)$ , ist also die Differenz $W (t 2) - W (t 1) < 0$ , spricht man von negativem Wachstum.

Im Falle $W (t 2) = W (t 1)$ spricht man von Nullwachstum.

Darstellung von Wachstumskurven

Bei zahlreichen Messpunkten werden diese zur Veranschaulichung zu einem geschlossenen Kurvenzug verbunden. Es sollte aber dabei nicht vergessen werden, dass das tatsächliche Verhalten des Systems zwischen den Messpunkten nicht bekannt ist und höchstens durch ein mehr oder weniger genaues Modell beschreibbar ist. Bei bestimmten Wachstumsarten können auch mathematische Modelle (Funktionen) zur Beschreibung des Verhaltens Verwendung finden.

Wachstumsarten

[[Bild:LogWachs1.png|framed|right|Beispiel für begrenztes Wachstum: Logistisches Wachstum (Sigmoid-Kurve)]]

a) begrenzt oder unbegrenzt: Alle realen Wachstumsvorgänge sind letztlich begrenztes Wachstum, da die Ressourcen, aus welchen sich das Wachstum, speist, nicht unbegrenzt vorliegen. Unbegrenztes Wachstum ist damit ein mathematisches Artefakt; die Annahme, dass in der Realität etwas unbegrenzt wachsen könne (z.B. langfristig echt positives Wirtschaftswachstum), ist daher nicht haltbar.

b) linear (konstant) oder exponentiell (beschleunigt oder verzögert = negativ beschleunigt) Der Radioaktive Zerfall ist ein Beispiel für exponentielles, verzögertes, negatives Wachstum.

framed|right|Beispiel von Graphen für lineares positives negatives und Nullwachstum

framed|right|Beispiel von Graphen für exponentielle positives oder negatives / beschleunigtes oder verzögertes Wachstum

c) (scheinbar) kontinuierlich oder diskontinuierlich. (Beispiel: Die Längenzunahme des Menschen während der Wachstumsperiode erfolgt in Schüben.)

Wachstumsschwankungen

Die gemessenen Größen bestimmter Systeme schwanken zwischen mehreren Grenzwerten hin und her:

Periodische Schwankungen (beispielsweise bei Systemen mit Rückkopplung) können ungedämpft, gedämpft oder aufschaukelnd sein.
Aperiodische Schwankungen (Fluktuationen) können zufallsbedingt oder chaotisch sein.

Wirtschaftswachstum

Wirtschaftswachstum beschreibt das Wachstum einer Volkswirtschaft. Siehe dazu den Hauptartikel Wirtschaftswachstum

Weblinks

Analyse von Wachstumsvorgängen