Wasserstoffatom

Ein Wasserstoffatom ist ein Atom des chemischen Elements Wasserstoff. Es besteht aus einem einfach positiv geladenen Atomkern (mit einem Proton und null bis zwei Neutronen) und einem negativ geladenen Elektron. Elektron und Atomkern sind aufgrund ihrer entgegengesetzten elektrischen Ladung aneinander gebunden.

Das Wasserstoffatom ist das am einfachsten aufgebaute aller Atome und bietet daher den Schlüssel zum Verständnis des Aufbaus und der Eigenschaften aller Atome. Es ist das einzige Atom, für das die quantenmechanische Schrödingergleichung analytisch (d.h. in mathematisch geschlossener Form) gelöst werden kann. Die Spektrallinien des Wasserstoffatoms sind mit hoher Genauigkeit berechenbar, und können mit den gemessenen Werten verglichen werden.

Das 1913 entwickelte Bohrsche Atommodell stimmte in seiner Vorhersage der Spektrallinien gut mit experimentellen Beobachtungen überein, und zeigt auch eine hohe Übereinstimmung mit den 1925/26 berechneten quantenmechanischen Werten. Das quantenmechanische Modell lieferte zusätzlich die geometrische Struktur der Elektronenorbitale, und löste das Bohrsche Atommodell mit seinen 'ad hoc' Annahmen ab.

Verfeinerungen des quantenmechanischen Modells führten zu theoretischen Bestätigungen in der Detailstruktur der Spektrallinien des Wasserstoffatoms, das damit gleichzeitig zum Standardtest der Quantenmechanik avancierte. Wichtige Phänomene, die anhand des Wasserstoffatoms erkannt oder verstanden wurden, sind unter anderem das Pauli-Prinzip und der Zeeman-Effekt.

Die am Wasserstoffatom abgeleiteten Prinzipien der Atomphysik bilden die Grundlage zur Beschreibung aller Atome. Allerdings kann das quantenmechanische Modell bei Atomen mit mehr als einem Elektron nur näherungsweise gelöst werden. Weiter haben Kenntnisse von Aufbau und Eigenschaften des Wasserstoffatoms zum Verständniss des Aufbaus chemischer Moleküle beigetragen.

Inhaltsverzeichnis

1 Lösung der Schrödingergleichung: Übersicht

2 Lösung der Schrödingergleichung: Mathematische Details

3 Weitere Entwicklung

3.1 Relativisitische Effekte
3.2 Spin
3.3 Quantenfeldtheoretische Effekte

4 Weblinks

Lösung der Schrödingergleichung: Übersicht

Die dreidimensionale Schrödingergleichung (eine partielle Differentialgleichung) kann aufgrund der Kugelsymmetrie der elektromagnetischen Wechselwirkung in drei unabhängige Gleichungen separiert werden. Jede der drei Einzelgleichungen kann mathematisch exakt gelöst werden.

Die wichtigste Gleichung ergibt die Energiezustände und Energiewerte des Elektrons im Wasserstoffatom; es ist üblich, die verschiedenen diskreten Energiewerte als Hauptquantenzahl $E n$ zu bezeichnen. Der tiefste Energiezustand ist $E 1$ , die weiteren Anregungszustände sind $E_2, E_3, \dots$ .

Die beiden anderen Gleichungen enthalten die Winkelabhängigkeit (Bahndrehimpulsquantenzahl, magnetische Quantenzahl).

Das Wasserstoffatom ist eines der wenigen quantenmechanischen Systeme, die sich exakt berechnen lassen. Die Lösung der Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom ist auch deshalb ein Standardverfahren der universitären Physikausbildung.

Lösung der Schrödingergleichung: Mathematische Details

Die Separation der Schrödingergleichung führt zu drei Gleichungen, die von jeweils einer der drei Kugelkoordinaten $r$ (Abstand vom Mittelpunkt), $φ$ (Längenwinkel) und $θ$ (Breitenwinkel) abhängen. Eine vollständige Lösung ergibt sich als das Produkt dreier Einzellösungen.

Jede Lösung $Ψ$ der Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom wird durch die drei Zahlen $n, l, m$ , Quantenzahlen genannt, gekennzeichnet. Dabei ist die Haupt- oder Energiequantenzahl $n$ eine beliebige positive Zahl, die Drehimpulsquantenzahl $l$ nimmt für gegebenes $n$ die Werte von $0$ bis $n - 1$ an, und die magnetische Quantenzahl $m$ läuft für gegebenes $l$ von $- l$ bis $+ l$ . Die Lösungsfunktion ist dann

$\Psi_{n, l, m} = e^{- \rho / 2} \rho^{l} G_{n_r}^{2l+1}(\rho) \cdot Y_{l,m}(\theta, \phi )$

mit

$\rho = {2r \over {n a_0}}$ ( $a 0$ ist der Bohrscher Radius);
$G_{n_r}^{2l+1}(\rho)$ sind die Laguerre-Polynome vom Grad $n r$ ;
$Y l, m (θ,φ)$ sind die Kugelflächenfunktionen.

Die Energieeigenwerte sind

H Ψ n, l, m = E n Ψ n, l, m

$E_n = -{{m c^2 Z^2 \alpha^2} \over {2 \cdot n^2}}$ (

α

ist die Feinstrukturkonstante);

Die Drehimpuls- und magnetischen Eigenwerte sind durch

$L^2 \Psi_{n, l, m} = {\hbar}^2 l(l+1) \Psi_{n, l, m}$

und

$L_z \Psi_{n, l, m} = \hbar m \Psi_{n, l, m}$

gegeben.

Die Drehumpulsquantenzahl misst hierbei den Bahndrehimpuls des Elektrons, und die magnetische Quantenzahl seine Projektion auf eine beliebige, im allgemeinen als 'z' bezeichnete, Richtung. In dieser einfachsten Behandlung des Wasserstoffatoms sind die Energiewerte nur von der Hauptquantenzahl $n$ abhängig. Alle Lösungen mit gleichem $n$ besitzen die gleiche Energie, man sagt, sie sind entartet.

Unter Berücksichtigung weiterer Effekte (Spin, RElativitätstheorie) ergibt sich eine Aufhebung er Energieentartung.

Weitere Entwicklung

Die Schrödingergleichung gibt eine in erster Näherung ausgezeichnete Beschreibung des Wasserstoffatoms. Sie vernachlässigt allerdings eine Reihe von zweitrangigen Eigenschaften der beteiligten Elementarteilchnen, die experimentell nachweisbar sind. Durch Berücksichtigung dieser Eigenschaften im erweiterten quantenmechanischen Modell lassen sich jene Beobachtungen ebenfalls erklären.

Relativisitische Effekte

Die Masse eines Teilchens nimmt nach der Speziellen Relativitätstheorie mit der Geschwindigkeit zu. Diese Massenzunahme verlangt eine Korrektur der quantenmechanischen Gleichungen zur Beschreibung des Wasserstoffatoms.

Eine Methode besteht darin, die Elektronenmasse in der Schrödingergleichung durch einen geschwindigkeitsabhängigen Masseterm zu ersetzen.

Spin

Aufgrund seines Spins besitzt das Elektron ein magnetisches Moment, das mit dem des Atomkerns oder einem eventuellen externen Magnetfeld wechselwirkt. Weiter tritt die sogenannte Spin-Bahn Kopplung auf, in der das Elektron je nach Drehimpulsquantenzahl abhängig von seinem Spin mit dem magnetischen Moment des Orbits wechselwirkt, und dadurch eine Aufspaltung der Energiewerte nach der magnetischen Quantenzahl bewirkt wird.

Zusammen mit den relativistischen Effekten lassen sich die Spin-Effekte in der Diracgleichung beschreiben. Diese gibt eine genauere Beschreibung des Wasserstoffatoms als die Schrödingergleichung.

Quantenfeldtheoretische Effekte

Die Quantenmechanik ist eine Annäherung an die zugrundeliegende Quantenfeldtheorie, in der unter anderem Vakuumfluktuationen auftreten. Diese bedingen die Lamb-Verschiebung (Lamb shift) der Energiewerte, welche erstmals im Lamb-Rutherford Experiment nachgewiesen wurde.

Diese Beobachtung führte zur Entwicklung der Quantenelektrodynamik, einer Quantenfeldtheorie, die mittels Näherungsrechnungen die bislang genaueste Beschreibung des Wasserstoffatoms gibt.

Weblinks

http://www.uni-graz.at/imawww/vqm/german/atome3.html Visualisierungen der Lösungen der Schrödingergleichung finden : http://www.hydrogenlab.de

Kategorie:Atomphysik