Wasserwelle

thumb|right|150px|Wellen auf der Elbe bei mittelstarkem Wind. Wasserwellen sind Oberflächenwellen, meist an der Grenzfläche zwischen Wasser und Luft. Die Oberflächenspannung der Flüssigkeit bestimmt die Eigenschaften der sogenannten Kapillarwellen mit Wellenlängen kleiner 2 cm. Die Gravitation bildet Schwerewellen mit Wellenlängen von bis zu 1000 km, wenn Wasser durch Einwirkung einer Störung zum Schwingen angeregt wird. Beispiele für Störungen sind der Wind, der verantwortlich ist für den Seegang auf den Meeren. Ins Wasser geworfene Steine und Hindernisse erzeugen Wellen, fahrende Schiffe begleitet eine Bugwelle. Seebeben rufen Tsunamis hervor.

Inhaltsverzeichnis

1 Struktur und Eigenschaften

2 Dispersion

3 Näherungen

3.1 Wellenlängen klein relativ zur Wassertiefe
3.2 Wellenlängen groß relativ zur Wassertiefe

Struktur und Eigenschaften

thumb|right|framed|Tiefwasserwelle, zwei Zirkularstömungen sind hervorgehoben. Allgemein gilt für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c von Wasserwellen mit einer Wellenlänge λ bei einer Wassertiefe von h:

(1) $c=\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}\left(\tanh\frac{2\pi h}{\lambda}\right)}$

π

: Kreiszahl (

3,14..

)

g

: Erdbeschleunigung (9,81 m/s²)

Mit c=λ * f (f: Frequenz) kann man (1) auch schreiben als:

(1a) $c = \frac{g}{2\pi f} \sqrt{\tanh{2 \pi h\over \lambda}}$

Eine typische Wasserwelle in tiefem Gewässer relativ zur Wellenlänge weist breite Wellentäler und schmale Wellenberge auf, die von lokalen kreisförmigen Strömungen getragen wird. Die Umlauf-Periode der Strömungen entspricht der Periode der Wasserwelle $T$ , siehe Animation rechts. Mit zunehmender Tiefe $h$ nehmen die Radien der Kreisströmungen ab.

Bei Wellenlängen kürzer als einige Zentimeter bestimmt die Oberflächenspannung die Ausbreitungsgeschwindigkeit. Für die sogenannten Kapillarwellen gilt:

(2) $c=\lambda\cdot f=\sqrt{2\pi\eta\over{\rho \lambda}}=\left(\frac{2\pi\eta f}{\rho}\right)^{1/3}$

Darin bedeuten $η$ die Oberflächenspannung und $ρ$ die Dichte der Flüssigkeit.

Dispersion

Als Dispersion bezeichnet man die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit (Wellenfortschrittsgeschwindigkeit) von der Wellenlänge. Die Gruppengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich eine Wellengruppe (d.h., das Intensitätsmaximum mehrerer sich überlagernder Wellen) fortbewegt, deren Wellenlängen sich nur wenig unterscheiden. Ist die Phasengeschwindigkeit für alle Teilwellen (Komponenten-Wellen) der Gruppe gleich, sind Gruppen- und Phasengeschwindigkeit identisch. Ist dies nicht der Fall, liegt Dispersion vor. Für alle Wellenarten gilt nach Rayleigh die nachfolgende Beziehung zwischen Gruppengeschwindigkeit und Phasengeschwindigkeit

$c_g=c- \lambda \cdot \frac{dc}{d\lambda}$

Hierin ist dc/dλ die Dispersion der Phasengeschwindigkeit. Je nach Vorzeichen und Betrag des Differentialquotienten ist die Gruppengeschwindigkeit kleiner, größer oder gleich der Phasengeschwindigkeit. Aus historischen Gründen haben sich in der Optik dafür die Bezeichungen normale Dispersion: dc/d&lambda > 0 und anormale Dispersion: dc/d&lambda < 0 eingebürgert.

thumb|100px|right|c(f,d) thumb|100px|right|c(L,d) Die Abhängigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Beziehung (1) von der Wellenlänge bzw. der Frequenz zeigen die beiden Abbildungen rechts. Zusätzlich ist die Abhängigkeit von der Wassertiefe (in der Zeichnung mit d statt h bezeichnet) angegeben. Hier gilt:

$dc/dL\ge0$ (normale Dispersion)

Die Dispersion von Kapillarwellen ist kleiner als Null und deshalb anomal:

$dc/d\lambda=\frac{-\left(2\pi\eta \lambda\right)^{-1/2}}{2\lambda} \ bzw.\ dc/df=\frac{2\pi\eta}{3\rho}\cdot \left(\frac{2\pi\eta f}{\rho}\right)^{-2/3}$

Näherungen

Wellenlängen klein relativ zur Wassertiefe

Für Gewässer mit einer Tiefe von mindestens einer halben Wellenlänge $λ$ nähert sich $tanh(x)$ in (1) dem Wert 1. Die Beziehung für die Ausbreitungsgeschwindigkeit $c$ lautet:

(3) $c \approx \sqrt{ \frac{g \lambda }{2\pi }}$ für

λ < h / 2

Bezeichnet T die Periode mit der Frequenz f = 1/T, folgt mit c = λ/T aus (3):

(4) $T \approx \sqrt{ \frac{\lambda \cdot 2\pi }{ g}}$

Die Dispersion wird maximal, die Phasengeschwindigkeit ist von der Wassertiefe unabhängig:

$dc/d\lambda=\sqrt{g\over{8\pi\cdot \lambda}} \ \mbox{bzw.}\ dc/df=\frac{-g}{2\pi f^2}$

$c=\lambda\cdot f=\sqrt{g\lambda\over{2\pi}}=\frac{g}{2\pi f}$

c g = 0,5 c

c_g: Gruppengeschwindigkeit

Wellen mit großen Wellenlängen breiten sich schneller aus und besitzen eine größere Periode als solche mit kleinen Wellenlängen. Bei einer Wellenlänge von 1 km beträgt die Ausbreitungsgeschwindigkeit ca. 140 km/h und die Periode 25 s, bei einer Wellenlänge von 100 m ca. 50 km/h und 8 s. Da zusätzlich die kurzperiodischen Wellen stärker gedämpft werden, nimmt man Sturmwellen in entfernten Gebieten als langperiodische Dünung wahr.

thumb|right|250px|Wasserwellen sind gekennzeichnet durch ausladende Täler und spitze Kämme. Das Bild zeigt eine auf ein Ufer auflaufende Welle kurz vor dem Überschlagen.

Wellenlängen groß relativ zur Wassertiefe

Wellenlängen, die größer sind als die Wassertiefe (λ> 0,05 h), hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeit nur von der Tiefe $h$ ab, nicht mehr von der Wellenlänge. Für kleine x gilt $\tanh (x)\approx x$ und damit erhält man aus (1):

(5) $c \approx \sqrt{ g h}$ für $h < \frac{\lambda}{20}$

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit zeigt keine Dispersion, d.h. sie ist unabhängig von der Wellenlänge. Deshalb ist die Phasengeschwindigkeit genauso groß wie die Gruppengeschwindigkeit:

$dc/d\lambda= 0 \ bzw.\ dc/df= 0$

$c=\lambda\cdot f=\sqrt{g\cdot d}$

c g = c

Nähert sich eine Welle einem langsam ansteigenden Ufer, verringert sich mit sinkender Wassertiefe die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellenfront. Die nachfolgenden Wellen überrollen die Wellenfront, bis auch sie abgebremst werden. Die Wellenlänge nimmt ab, als Folge der Energieerhaltung vergrößert sich die Höhe der Welle, die Amplitude $A$ . Die Wasserwellen türmen sich auf. Sie brechen bei einer mittleren Wassertiefe $h$ von ca. $h$ = 1,3* $A$ .

Grenzflächenwellen

Bei den Betrachtungen oben gehen nur die Parameter eines Mediums ein. Diese Annahme ist für Oberflächenwellen von Wasser an Luft gerechtfertigt, da der Einfluß der Luft aufgrund der kleinen Dichte vernachlässigbar ist.

Die erweiterte Fassung von Gleichung (3) berücksichtigt die Dichte beider Phasen, bezeichnet mit ρ₁ und ρ₂:

$c^2=\frac{\rho_1-\rho_2}{\rho_1+\rho_2} \cdot \frac{g\lambda}{2\pi}$

Und bei Kapillarwellen (2) gilt:

$c^2= 2\pi\eta\over{\lambda(\rho_1+\rho_2)}$

Siehe auch Interne Wellen

Besondere Wellen

Tsunamis werden durch Seebeben ausgelöst. Sie zeichnen sich aus durch eine sehr große Wellenlänge und auf hoher See durch kleine Amplituden von weniger als einem Meter. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Tsunamis folgt der Beziehung (4), denn die Wellenlänge von mehreren 100 km ist deutlich größer als die Tiefe der Meere. Tsunamis breiten sich mit einer Geschwindigkeit von 700 km/h aus, woraus sich eine mittlere Meerestiefe von 5 km ergibt. Verheerend sind die Schäden, die sie beim Auflaufen auf flache Küsten hervorrufen.

Gezeitenwellen sind Wellen, die durch die Tide verursacht werden.

An der Schichtung von leichtem Süßwasser auf schwerem Salzwasser beobachtet man Grenzflächenwellen, deren Auswirkungen auf Schiffe als Totwasser bezeichnet werden. Fährt ein Schiff in die Zone ein, kann es bei ausreichendem Tiefgang Bugwellen auf der Oberfläche der Salzwasserschicht erzeugen. Es verliert deutlich an Fahrt, ohne dass an der Wasseroberfläche Wasserwellen zu erkennen wären.

Siehe auch

Welle (Physik), Seegang, Tide, Brandung, Wellenreiten, Kielwasser

Weblinks

Motion in the Sea -- Waves

(in Englisch)

Water waves (in Englisch)

Literatur

Pohl, Einführung in die Physik