Wellengleichung

Als Wellengleichung bezeichnet man die partielle Differentialgleichung, die die Ausbreitung von Wellen modelliert und darüber hinaus (zusammen mit zahlreichen Varianten) auch als unabhängiger Forschungsgegenstand von Interesse ist.

Inhaltsverzeichnis

1 Die allgemeine Wellengleichung

2 Lösungen der homogenen Wellengleichung in einer Dimension

3 Die Wellengleichung in mehreren Dimensionen

4 Allgemeine Wellengleichung

5 Wellengleichung für anisotrope Körper

Die allgemeine Wellengleichung

Unter einer homogenen Wellengleichung versteht man eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine Funktion

u (x 1,..., x n, t)

im n-dimensionalen Raum

der Form

$c^2 \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0$ .

Unter einer inhomogenen Wellengleichung versteht man die Differentialgleichung, die man durch Ersetzen der rechten Seite durch eine Funktion von x_i und t aus obiger Gleichung ersetzt. Die Wellengleichung ist vom hyperbolischen Typ.

Oft wird der Begriff "Wellengleichung" darüber hinaus auch auf andere lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung angewendet, deren Lösungen als Linearkombinationen ebener Wellen geschrieben werden können.

Die Funktion u kann dabei in die reellen oder komplexen Zahlen, aber auch auf Vektoren, Tensoren oder Spinoren abbilden.

Lösungen der homogenen Wellengleichung in einer Dimension

Die homogene Wellengleichung in einer Dimension lautet

$c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$

(hierbei ist die Funktion u natürlich zweidimensional, aber üblicherweise wird t hier nicht mitgezählt). Sie hat als allgemeine Lösung

$u\left(x,t\right) = f(x + ct) + g(x - ct)$

mit beliebigen zweimal differenzierbaren Funktionen f(x) und g(x). Dabei beschreibt der erste Summand eine mit Geschwindigkeit c nach links laufende, der zweite Summand eine mit derselben Geschwindigkeit nach rechts laufende Welle.

Mit Hilfe der Fouriertransformation lassen sich die Funktionen f und g als Linearkombination von Sinus-Funktionen oder auch komplexen Exponentialfunktionen schreiben, wobei diese Funktionen die Form

$u(x,t) = A\sin(k x \pm \omega t + \phi)$

bzw.

$u(x,t) = A\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x \pm \omega t)}$

haben (in der zweiten Schreibweise steckt die Phase $φ$ im komplexen Vorfaktor A), wobei

ω = k c

Die Wellengleichung in mehreren Dimensionen

In mehreren Dimensionen lässt sich die allgemeine Lösung nicht mehr so einfach hinschreiben, aber auch hier können alle Lösungen als Linearkombination der ebenen Wellen

$A\sin(\vec k\vec x \pm \omega t + \phi)$

bzw.

$u(x,t) = A\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\vec k \vec x \pm \omega t)}$

mit

$\omega = \left|\vec k\right| c$

geschrieben werden. Diese Wellen haben alle die Geschwindigkeit c und bewegen sich in Richtung von $\vec k$ .

Allgemeine Wellengleichung

Im allgemeinen (4-dimensionalen) Fall lautet die Wellengleichung

$( \Delta - \frac {1}{v^2} \frac{\partial ^2}{\partial t^2} ) u = 0$ .

Dabei ist $v$ die Ausbreitungsgeschwindigkeit und $Δ$ der Laplaceoperator.

Die Wellengleichung kann man mit dem d'Alembertoperator oder Quablaoperator vereinfacht als

$\Box u =0$ schreiben.