Wohldefiniertheit

Der Begriff der Wohldefiniertheit tritt in der Mathematik als Eigenschaft von Funktionen und Verknüpfungen auf. Dabei gibt es zwei von Mathematikern unterschiedene Bedeutungen, deren zweite ein Spezialfall der ersten ist.

Inhaltsverzeichnis

Im Definitionsbereich definiert und Bilder im Wertebereich

Ist f : A \to B eine Funktion, d.h. eine Zuordnung von der Menge A in die Menge B, so heißt die Menge A ihr Definitionsbereich und B ist ihr Wertebereich. Man sagt auch, dass f auf der Menge A definiert ist.

Ist nun f durch eine Abbildungsvorschrift mit einer Variablen x gegeben (typischerweise eine mathematische Formel), dann muss jedes Element von A beim Einsetzen für x ein sinnvolles Ergebnis liefern, d.h. das Ergebnis muss definiert sein. Darüberhinaus muss es natürlich in B liegen.

In diesem Sinne ist die Wohldefiniertheit der Funktion f bereits in der Aussage enthalten, dass f : A \to B eine Funktion ist, also A ihr Definitionsbereich und B ihr Wertebereich ist.

Beispiele:

Der Definitionsbereich für die Funktion x \mapsto 1/x darf die Zahl 0 nicht enthalten. Als ihr Definitionsbereich kann daher (im Rahmen der rellen Zahlen) die Menge der von Null verschiedenen reellen Zahlen (oder eine Teilmenge davon) gewählt werden.

Auch ist die Funktion \cos: \mathbb{R} \mapsto [0,1] (siehe Intervall) nicht wohldefiniert, weil der Kosinus auch negative Werte annimmt.

Für nichtnegative Werte von x ist \sqrt x (die Quadratwurzel von x) definiert als diejenige reelle Zahl t \ge 0, welche die Gleichung t2 = x erfüllt. Zum Beispiel ist \sqrt{4} = 2, aber \sqrt{4} \ne -2, obwohl ( − 2)2 = 4 ist.

Die Quadratwurzel \sqrt{x} ist für nichtnegative x eindeutig bestimmt. Die Vorschrift g(x):= \sqrt x ist deshalb für nichtnegative x wohldefiniert, erzeugt also eine Funktion g: \mathbb{R}_{\geq 0} \to \mathbb{R}. g(x) ist jedoch keine Funktion von \mathbb{R} nach \mathbb{R}, da diese Vorschrift keinen Funktionswert für negative x definiert.

Die Vorschrift f(x) := \pm \sqrt x, die für positive x beide Zahlen liefert, deren Quadrat gleich x ist, ist keine wohldefinierte Beschreibung einer reellen Funktion, da sie für negative Zahlen keine, für positive Zahlen mehrere Werte ergibt.

Innere Verknüpfungen einer algebraischen Struktur G (z.B. einer Gruppe) sind ebenfalls Funktionen (meist mit zwei Argumenten), für sie gelten also dieselben Bedingungen: Die Verknüpfung von Elementen der Struktur G muss ein eindeutig bestimmtes Element von G ergeben. Hier wird oft fälschlicherweise der Ausdruck Abgeschlossenheit benutzt, welcher sich aber auf die Definition von Unterstrukturen bezieht.

Repräsentantenunabhängigkeit

Induzierte Abbildung

Die andere Bedeutung der Wohldefiniertheit tritt auf, wenn man eine Abbildung f : A \to B hat und in A und B so genannte Faktormengen A  /\sim und B  / \sim durch Einführung von Äquivalenzrelationen \sim bildet. Man kann zwischen diesen Faktormengen eine induzierte Abbildung g wie folgt definieren:

g([x]): = [f(x)]

Dabei ist [x] die Äquivalenzklasse von x, d.h. die Menge der zu x bezüglich \sim äquivalenten Elemente.

Damit nun g eine Abbildung von A /\sim nach B  /\sim ist, muss das Bild jeder Äquivalenzklasse a unabhängig von der Wahl des Repräsentanten x von a sein. Es muss also gelten:

Falls [x] = [y], dann ist [f(x)] = [f(y)]

Ist das erfüllt, heißt g wohldefiniert.

Auch hier bedeutet die Wohldefiniertheit von g nur, dass g jedem Element von A /\sim genau ein Element von B /\sim zuordnet, also eine Funktion ist.

Man kann natürlich auch nur bei einer der beiden Mengen zu einer Faktormenge übergehen. An der anderen Stelle entfällt dann die Bildung der Äquivalenzklasse.

Beispiel:

Betrachte die Relation \sim auf \mathbb{R}, die durch

x\sim y,\quad\mathrm{falls}\ \frac{x-y}{2\pi}\in\mathbb Z

definiert ist. Dies ist eine Äquivalenzrelation und der Kosinus induziert eine Abbildung

c: \mathbb{R}/\sim\ \to\mathbb{R}, c([x]) = cos(x).

Da cos(x + 2πk) = cos(x), ist c wohldefiniert.

Induzierte Verknüpfung

Analoge Forderungen erhält man, wenn man eine Verknüpfung " * " auf einer algebraischen Struktur A nimmt und versucht, eine induzierte Verknüpfung auf der Faktorstruktur A /\sim zu definieren:

[x] * [y]: = [x * y]

Auch hier muss gelten, dass verschiedene Repräsentanten derselben Klassen stets dasselbe Ergebnis liefern, um von einer Verknüpfung auf der Faktorstruktur sprechen zu können.

Beispiele für die Wichtigkeit dieser Art der Wohldefiniertheit sind Faktorgruppen und Faktorringe, denn für eine Gruppe G und eine Untergruppe H ist die Faktormenge G/H = \{gH|g\in G\} der Linksnebenklassen nur dann eine Gruppe, wenn die induzierte Verknüpfung wohldefiniert ist.

Beispiele:

Addition und Multiplikation in den Restklassenringen \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} sind wohldefiniert.

Ist N ein Normalteiler der Gruppe G, dann ist die auf G / N induzierte Verknüpfung wohldefiniert, und G / N heißt Faktorgruppe. Die Eigenschaft, Normalteiler zu sein, ist sogar äquivalent dazu, dass die induzierte Verknüpfung auf der Faktormenge G / N wohldefiniert ist.

Sei zum Beispiel die symmetrische Gruppe S3 = {id,(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3),(1,3,2)} und darin die Untergruppe U = {id,(1,2)} gegeben. Die auf der Faktormenge S3 / U induzierte Verknüpfung ist nicht wohldefiniert, denn es ist

[(1,2)] = {id,(1,2)} = [id],
[(1,3)] = {(1,3),(1,3,2)} = [(1,3,2)],
[(1,2,3)] = {(1,2,3),(2,3)} = [(2,3)],
[(2,3)(1,3)] = [(1,2,3)],
[(2,3) (1,3,2)] = [(1,2)] \neq [(1,2,3)].

Die Verknüpfung p:\mathbb Z/3\mathbb Z \times \mathbb Z/3 \to \mathbb Z/3 gegeben durch p(([a],[b])) = [ | a | | b | ] ist nicht wohldefiniert. Zum Beispiel gilt [2] = [5] und [6] = [3], somit ist ([2],[6]) = ([5],[3]). Aber es ist

p(([2],[6])) = [26] = [64] = [63 + 1] = [3 * 21 + 1] = [1]
p(([5],[3])) = [ 5 ^ 3 ] = [125] = [123 + 2] = [ 3 * 41 + 2] = [2] \neq [1]

und es folgt, dass die Verknüpfung p nicht wohldefiniert ist.

See also: Wohldefiniertheit, Abgeschlossenheit, Algebraische Struktur, Definitionsbereich, Faktorgruppe, Faktorring, Funktion (Mathematik), Gruppe (Mathematik), Intervall (Mathematik), Kosinus