Wolstenholme-Primzahl


Eine Wolstenholme-Primzahl p ist eine Primzahl mit der Zusatzeigenschaft, dass ein bestimmter Binomialkoeffizient eine bestimmte Kongruenz modulo p4 erfüllt, und zwar die Kongruenz

{{2p-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \pmod{p^4}

Die beiden bisher einzigen bekannten Wolstenholme-Primzahlen sind 16843 und 2124679. Jede weitere Wolstenholme-Primzahl müsste größer als 6,4·108 sein.

Aus dem Satz von Wilson (p ist genau dann eine Primzahl, wenn (p-1)! \equiv -1 \pmod p ist) folgt, dass für jede Primzahl p und jede natürliche Zahl n die Kongruenz

{{np-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \pmod{p}

erfüllt ist.

Charles Babbage bewies 1819, dass für jede Primzahl p>2 diese Kongruenz gilt:

{{2p-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \pmod{p^2}

Der Mathematiker Joseph Wolstenholme (1829-1891) bewies dann 1862, dass für jede Primzahl p>3 die folgende Kongruenz gilt:

{{2p-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \pmod{p^3}

Nach ihm werden die Primzahlen, die sogar die Kongruenz

{{2p-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \pmod{p^4}

erfüllen, als Wolstenholme-Primzahlen bezeichnet.

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See also: Wolstenholme-Primzahl, 1819, 1862, Binomialkoeffizient, Charles Babbage, Kongruenz (Zahlentheorie), Modulo, Primzahl, Satz von Wilson