Zeitdilatation

Bei der Zeitdilatation handelt es sich um ein Phänomen der speziellen Relativitätstheorie (SRT). Mit Zeitdilatation bezeichnet man den Effekt, dass eine Uhr im bewegten Zustand langsamer geht als im unbewegten. Allgemeiner gilt dies nicht nur für Uhren, sondern für jeden physikalischen Prozess. So zerfallen zum Beispiel bewegte Atome langsamer als ruhende, bewegte Milch wird langsamer sauer als unbewegte Milch und bewegte Menschen altern langsamer als ruhende Menschen. Die Zeitdilatation ist umso stärker, je größer die Geschwindigkeit ist, mit der die Uhr bewegt wird. Sie ist allerdings für alltägliche Geschwindigkeiten so klein, dass sie nicht bemerkt wird. Erst für sehr große Geschwindigkeiten (ca. 1/10 der Lichtgeschwindigkeit) ist sie so groß, dass sie einen messbaren Beitrag liefert.

Inhaltsverzeichnis
1 Berechnung mit Beispielen
2 Zeitdilatation in verschiedenen Bezugssystemen

2.1 Einige Formeln

3 Links
4 Literatur

Berechnung mit Beispielen

Die Zeitdilatation berechnet sich aus der Formel

T_1 = T_0 \sqrt {1- \left(\frac{v^2}{c^2}\right)}

dabei ist T0 die Zeitdifferenz die eine ruhende Uhr anzeigt und T1 die Zeitdifferenz die eine baugleiche mit der Geschwindigkeit v bewegte Uhr anzeigt. c ist die Lichtgeschwindigkeit.

v in m/s v (%c) T1/T0
0 0 1.000
29,97 10-7 1 - 5,0 10-15
299,7 10-6 1 - 5,0 10-13
1,498 107 5 0,9987
2,997 107 10 0,9950
1,498 108 50 0,8660
2,698 108 90 0,4359
2,967 108 99 0,1411
2,994 108 99,9 0,0447
2,997 108 99,999 0,00448

Zeitdilatation in verschiedenen Bezugssystemen

Man betrachte zwei gegeneinander gleichförmig bewegte Inertialsysteme (d.h. sie bewegen sich relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit).

Das eine System wird als ruhend betrachtet. Es wird im folgenden mit S bezeichnet. Hier befindet sich ein Beobachter, der die Bewegung des anderen Systems verfolgt. Für den Beobachter ruht sein Inertialsystem, während sich das für ihn bewegte System mit der Geschwindigkeit v entfernt.

Das für den Beobachter bewegte System wird im folgenden mit S' bezeichnet.

Ereignisse in dem sich entfernenden System werden durch die Koordinaten (t',x') beschrieben, Ereignisse in dem "zurückgebliebenen System" durch die Koordinaten (t,x).

Ein solches Ereignis ist z.B. die Ortskoordinate einer Uhr zu einem bestimmten Zeitpunkt. Eine in dem bewegten System ruhende Uhr hat zu allen Zeiten t' die gleiche Ortskoordinate x'. In S hat sie zu verschiedenen Zeiten t unterschiedliche Koordinaten x, da sich S' relativ zu S bewegt.

t bzw. t' sind die Zeitkoordinaten in den Systemen S bzw. S', x bzw. x' die Ortskoordinaten in S bzw. S'.

In S' befinde sich ebenfalls ein Beobachter, er werde im Folgenden als Reisender bezeichnet.

Insbesondere bedeutet diese Wahl der Koordinaten, dass nur eindimensionale Bewegungen betrachtet werden. Das System S' bewege sich entlang der x-Achse des Systems S in positive Richtung.

Zum Zeitpunkt t = t' = 0 sollen beide Systeme übereinanderliegen. Zum Zeitpunkt dt hat sich S' für den Beobachter in S um die Strecke v*dt entfernt.

Mit dem Ursprung von S' sei eine Uhr verknüpft, die zu irgendeinem früheren Zeitpunkt mit einer Zwillingsuhr in S geeicht wurde, hierfür wird insbesondere angenommen, dass beide Systeme zu diesem früheren Zeitpunkt relativ zueinander in Ruhe waren. Das System S' wurde dann relativ zu S auf die Geschwindigkeit v beschleunigt.

Die Zeit in S' bezeichnet man auch als die Eigenzeit von S'. Für einen Beobachter in S misst also die Uhr in S' die Eigenzeit des Systems S'.

Während der Zeit dt (gemessen in S) bewege sich S' gleichförmig mit der Geschwindigkeit v. Für den Beobachter in S legt das System S' während der Zeit dt die Entfernung vdt zurück.

Für den Reisenden in S' stellen sich die Verhältnisse anders dar. Für ihn vergeht die Zeit d \tau = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\cdot dt. Man bezeichnet dieses Phänomen als Zeitdilatation.

c ist das Symbol für die konstante Vakuum-Lichtgeschwindigkeit. Für v->c konvergiert die Eigenzeit gegen Null.

Der Reisende trifft auch eine andere Aussage über den zurückgelegten Weg, für ihn erscheinen Entfernungen, die der Beobachter in S misst, verkürzt.

Man bezeichnet dieses Phänomen als Längenkontraktion.

Dies erklärt z.B., dass er weniger Eigenzeit braucht um einen Weg zurückzulegen, als der Beobachter in S vermutet.

Die mit S' mitbewegte Uhr ist die "innere Uhr" dieses System.

Für v->c konvergieren für den Reisenden alle Entfernungen gegen Null.

Wichtig ist bei diesen Überlegungen Folgendes:

Die Beschleunigung, die das System S' relativ zu S erfahren hat, wird nur von dem Reisenden in S' wahrgenommen (die dadurch hervorgerufenen Trägheitskräfte wirken ausschließlich in S'). Der Beobachter in S sieht zwar das System S' beschleunigt, spürt aber keine Trägheitskraft. In diesem Sinne sind die beiden Systeme nicht gleichwertig, wenn sie sich relativ zueinander mit der Geschwindigkeit v bewegen.

In dem früher beschleunigten System wird eine Längenkontraktion hinsichtlich zurückzulegender Entfernungen beobachtet (für den Beobachter in S ändern sich Entfernung, die S' zurückzulegen hat, nicht). Dafür scheint die bewegte Uhr in S' für den Beobachter in S langsamer zu gehen, für den Reisenden ruht seine Uhr, er merkt keinen Unterschied.

Damit die ganze Beschreibung etwas realistischer wird, betrachte man z.B. kosmische Strahlung, die auf die Erdatmosphäre trifft. Unter bestimmten Bedingungen werden dabei so genannte Myonen freigesetzt, die sich beinahe mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. Aus Beschleunigerexperimenten kennt man die Lebenserwartung solcher Elementarteilchen und kann hieraus schließen, welchen Weg sie in der Atmosphäre zurücklegen können. Auf keinen Fall würde man sie auf der Erdoberfläche vermuten.

Da man sie aber auf der Erdoberfläche nachweisen kann, müssen die schnell bewegten Myonen eine höhere Lebenserwartung haben als erwartet. Die "innere Uhr" der Myonen scheint langsamer zu gehen, als wenn sie in Ruhe wären.

Ein anderes (etwas hypothetisches) Beispiel wäre die Bewegung eines Raumschiffes, das von der Erde startet, einen entfernten Planeten ansteuert, und wieder zurückkommt:

Ein Raumschiff startet von der Erde und fliegt mit der konstanten Beschleunigung von 1g = 9,81 \frac{m}{s^2} zur Wega (Entfernung 28 Lichtjahre). Auf halber Strecke ändert das Raumschiff das Vorzeichen der Beschleunigung und verzögert mit 1g. Nach Abschluss einer 6 monatigen Aufenthaltsdauer kehrt das Raumschiff auf gleiche Weise zur Erde zurück.

In verschiedenen Lehrbüchern zur Relativitätstheorie werden Formeln zur Berechnung der vergangenen Zeiten angegeben.

Eine Auswertung dieser Formeln ergab folgendes:

Für den Reisenden vergehen 13 Jahre, 9 Monate und 11 Tage

Auf der Erde ist bei der Rückkehr des Raumschiffes folgende Zeit vergangen: 60 Jahre, 3 Monate, 4 Tage

Wesentlich extremere Unterschiede bekommt man bei einem Flug zum Andromedanebel, der etwa 2.000.000 Lichtjahre entfernt ist (bei gleichen Beschleunigungs- und Verzögerungsphasen):

Für die Erde vergehen etwa 4.000.000 Jahre, während für den Reisenden ungefähr 56 Jahre vergangen sind

Die Beschleunigung von 1g wurde gewählt, da hierdurch irdische Gravitationsverhältnisse an Bord eines Raumschiffes simuliert werden könnten.

Im freien Fall könnten unter Umständen wesentlich höhere Beschleunigungswerte erzielt werden, ohne dass ein Passagier dies überhaupt bemerken würde, z.B. im Anziehungsbereich eines Sterns.

Einige Formeln

Zurückgelegter Weg nach auf Erde vergangener Zeit t bei Anfangsgeschwindigkeit v0 und konstanter Beschleunigung g:

x = \left( \sqrt{1 + \frac{(g \cdot t + v_0)^2}{c^2}} - \sqrt{1 + \frac{v_0^2}{c^2}} \right) \cdot \frac {c^2}{g}

Momentane Geschwindigkeit:

\frac{g \cdot t + v_0}{\sqrt{1 + \frac{ \left(g \cdot t + v_0 \right)^2}{c^2}}}

Zeit auf der Erde (Umkehrung der Formel für zurückgelegten Weg x):

\frac{1}{g} \cdot \left(-v_0 + \frac{1}{c} \cdot \sqrt{v_0^2 \cdot c^2 + x^2 \cdot g^2 + 2 \cdot x \cdot g \cdot c \cdot \sqrt{c^2 + v_0^2}} \right)

Zeit auf dem Raumschiff (in Abhängigkeit von der auf der Erde vergangenen Zeit t):

\frac{c}{g} \cdot \ln \left[ \left(\sqrt{c^2 + v_0^2} - v_0 \right) \cdot \frac{\sqrt{c^2 + (g \cdot t + v_0)^2} + g \cdot t + v_0}{c^2} \right]

Links

Literatur

See also: Zeitdilatation, Andromedanebel, Beobachter, Beschleunigung, Bewegung, Dimension (Mathematik), Eigenzeit, Elementarteilchen, Entfernung, Erdoberfläche