Zentripetalkraft
Die Zentripetalkraft ist eine physikalische Kraft, die an einem Körper angreift, der sich auf einer kreisförmigen Bahn bewegt. Sie hält den Körper auf seiner Kreisbahn und ist nach innen zum Kreismittelpunkt bzw. zur Drehachse gerichtet.
Zentripetalkraft|center
Bekannter als die Zentripetalkraft ist die Zentrifugalkraft, die auch als Fliehkraft bezeichnet wird. Diese leitet sich vom lateinischen Verb "fugere" (=fliehen), die Zentripetalkraft von "petere" (=ziehen) her. Beide haben denselben Betrag, die Zentrifugalkraft ist jedoch nach außen, vom Mittelpunkt oder der Achse weg ("fliehend") gerichtet. Die Zentrifugalkraft ist eine Trägheitskraft bzw. Scheinkraft. Zentrifugalkräfte und Zentripetalkräfte greifen nicht immer am Schwerpunkt des Körpers an.
Technische Anwendungen der Zentrifugalkraft sind die Zentrifuge und der Fliehkraftregler.
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Die Zentripetalkraft als Ursache der Kreisbewegung
Nach dem Trägheitsprinzip (1. newtonsches Axiom) haben alle Körper eine ihnen innewohnende Trägheit. Jeder Körper behält nach diesem Prinzip seine Geschwindigkeit und Bewegungsrichtung für alle Zeiten bei, sofern keine äußeren Einflüsse auf ihn einwirken. Eine solche geradlinig gleichförmige Bewegung benötigt also keine Ursache.
Die äußeren Einflüsse erklärte Isaac Newton durch Kräfte. Jede Geschwindigkeits- und Richtungsänderung wird nach ihm durch eine solche Kraft erklärt. Beobachtet man eine Richtungsänderung, so weist die Kraft immer in Richtung der Ablenkung.
Um einen Körper auf eine Kreisbahn (die ja nicht geradlinig ist) zu zwingen, wird eine beständige Ablenkung in Richtung des Mittelpunktes benötigt. Diese wird als Zentripetalkraft bezeichnet. Diese Kraft ist daher die Ursache der Kreisbewegung.
Beispiele
- Die Erde bewegt sich annähernd mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn um die Sonne. Diese Kreisbewegung wird durch die von der Sonne auf die Erde ausgeübte Gravitationskraft verursacht. Daher ist hier die Gravitationskraft die Zentripetalkraft.
- Wenn ein Auto eine Kurve durchfährt, ist dies nur dadurch möglich, dass eine zur Innenseite der Kurve gerichtete Kraft wirkt, nämlich die Haftreibungskraft. Fehlt diese (Zentripetal-)Kraft (z.B. bei extremem Glatteis), so bewegt sich das Auto geradlinig weiter, wird also aus der Kurve getragen.
- Bewegen sich Elektronen in einem homogenen Magnetfeld, so werden sie durch die Lorentzkraft senkrecht zur Bewegungsrichtung abgelenkt und so auf eine Kreisbahn gezwungen. In diesem Beispiel ist also die Lorentzkraft die Zentripetalkraft.
Beobachter auf Kreisbahnen spüren keine Zentrifugalkräfte
Für den Erwachsenen, der einem Kind im Karussell vom Rand aus zuschaut, existieren keine Zentrifugalkräfte. Er befindet sich in einem Inertialsystem, in dem die newtonschen Axiome gelten, d. h. er erklärt die Bewegungsänderungen mit den auftretenden und messbaren Kräften: Auf den Sitz wirkt eine Zentripetalkraft, da er fest mit dem Karussell verbunden ist. Ohne die Zentripetalkraft würde der Sitz sich geradlinig bewegen und tangential fortfliegen, wenn sich z.B. die Befestigung löst. Die Gegenkraft zu dieser Zentripetalkraft wirkt auf die Drehachse (nicht auf das Kind!).
Auch das Kind auf dem Karussellsitz wird durch eine nach innen wirkende Zentripetalkraft in seiner Bewegungsrichtung abgelenkt und bewegt sich dadurch ebenfalls auf einer Kreisbahn. Um es bei gegebener Geschwindigkeit auf der Kreisbahn zu halten, ist eine nach innen gerichtete Zentripetalkraft erforderlich, deren Betrag von der Masse des Kindes, seiner Geschwindigkeit und dem Radius der Kreisbahn abhängt. Solange die maximale Haftreibung des Kindes auf dem Sitz größer ist als diese erforderliche Zentripetalkraft, wird sie über die Sitzfläche auf das Kind übertragen. Ist die Haftreibung kleiner, so rutscht das Kind nach außen, bis die Lehne des Sitzes die nach innen gerichtete Zentripetalkraft auf das Kind überträgt. (Die Lehne zieht das Kind nicht nach außen!)
Das Kind selbst spürt dabei, wie es zum Außenrand des Sitzes rutscht und von der Lehne nach innen gedrückt wird. Es spürt den Anpressdruck der Lehne und interpretiert diese Emfpindung als eine Kraft, die es nach außen gegen die Lehne drückt, die so genannte "Zentrifugalkraft", die aber gar keine Kraft ist, da sie nicht zwischen zwei Körpern wirkt. Würde tatsächlich eine Kraft nach außen wirken, dann würde sich das Kind nicht um die Karussellachse drehen, würde auch nicht tangential wegfliegen, sondern nach außen beschleunigt werden. Würde sowohl eine Zentripetalkraft nach innen als auch eine "Zentrifugalkraft" nach außen wirken, die sich beide kompensieren, dann wäre das Kind kräftefrei und würde sich geradlinig auf einer Tangente an den Kreis weiterbewegen. Auch wenn manchmal leider (selbst in Physikbüchern) falsch behauptet wird, dass die "Zentrifugalkraft" eine Gegenkraft zur Zentripetalkraft sei, ist dies offensichtlich falsch.
Physikalisch gesprochen wird durch die Zentripetalkraft der Impulsvektors des Kindes nach innen gedreht, so dass sich eine Kreisbewegung ergibt.
Montiert man vor dem Karussellsitz eine Kamera, die sich mitbewegt und das Kind aufzeichnet, dann befindet sich aus dieser Perspektive das Kind in Ruhe, nur der Hintergrund bewegt sich. Da die Kamera selbst ständig beschleunigt wird, spricht man hier von einem beschleunigten Bezugssystem. In diesem Bezugssytem gelten die Newtonschen Axiome nicht, denn es wirkt eine (messbare) Kraft auf das Kind, ohne dass sich sein Bewegungszustand ändert. Um dennoch auch in diesem beschleunigten Bezugssystem mit den Newtonschen Axiomen rechnen zu können, muss man nur in dem beschleunigten Bezugssystem eine zusätzliche Kraft einführen, die die Zentripetalkraft kompensiert. Da diese zusätzliche Kraft nicht wirklich existiert, spricht man von einer Scheinkraft. Diese scheinbare Kraft heißt Zentrifugalkraft.
Das Kind im Karussell hat dennoch den Eindruck, dass es von etwas nach außen gezogen wird. Im Alltag erklärt man diese Empfindung mit einer "Zentrifugalkraft". Wenn jemand an einem Reck hängt, wirkt von dem Reck über seine Arme eine Kraft auf ihn, die nach oben gerichtet ist. Außerdem wirkt die Schwerkraft auf ihn, er ist also kräftefrei. Dennoch spürt er, dass ihn etwas nach unten zieht. Diese Erfahrung übertragen wir auf die Kreisbewegung und schließen auf eine Kraft, die uns nach außen zieht.
Beobachter und Bezugssysteme
Beobachter
Die Zentrifugalkraft war nur für das Kind im Karussell spürbar. Der Erwachsene, der dem Kind zuschaut, sieht nur die Zentripetalkraft, die den Karussellsitz und mit ihm das Kind auf eine Kreisbahn zwingt. Das Kind beobachtet sich selbst, es wird Beobachter genannt. Auch der Erwachsene am Rand ist Beobachter.
Kräfte im Karussell
Für die beiden Beobachter treten unterschiedliche Kräfte auf:
- Der Erwachsene sieht die Kreisbahn, die Zentripetalkraft ist für ihn die Ursache dieser Bahn.
- Das Kind sieht sich jedoch genau genommen nicht auf einer Kreisbahn. Stattdessen rotiert der Jahrmarkt um es herum, auch der Erwachsene. Der Sitz bewegt sich jedoch aus der Sicht des Kindes nicht. Wenn also eine Zentrifugalkraft wirkt, die es konkret wahrnimmt, so muss eine entgegen gerichtete, gleich große Kraft diese gerade aufheben. Dies ist die Zentripetalkraft.
Hält das Kind einen Apfel in der Hand und lässt ihn los, so bewegt er sich aus seiner Sicht nach außen. Auch dafür macht es die Zentrifugalkraft verantwortlich. Der Erwachsene am Rand sieht den Apfel jedoch radial zur Kreisbahn davonfliegen. Da er geradlinig davonfliegt, sind für den Erwachsenen keine Kräfte erforderlich.
Einen solchen Schluss kann der Erwachsene aber nur dann ziehen, wenn er durch oberflächliche Betrachtung davon ausgeht, dass nur dort Kräfte wirken können, wo man Bewegung im Sinne einer nicht geradlinigen Bewegung wahrnehmen kann. Fliegt der Apfel zufällig in die Richtung des Erwachsenen und trifft diesen am Kopf, so wird der Erwachsene rasch feststellen, dass eine Kraft den Apfel zur Bewegung veranlasst hat. Der Erwachsene kann den Versuch mit dem Apfel auch durchführen, indem er ein Kind bei ruhendem Karussell einen Apfel fallen lässt. Nun wird er aber feststellen, dass der Apfel geradlinig zu Boden fällt. Auch hier könnte er nicht aufgrund der geradlinigen Bewegung des Apfels zu dem Schluss kommen, dass hierzu keine Kraft erforderlich ist. Bei exakter Messung würde er feststellen, dass der Apfel auf seinem Weg zum Boden durch die Schwerkraft beschleunigt wird. Nun kann er aber bei einer Änderung dieser Beschleunigungsrichtung des Apfels, wie er sie im Versuch mit dem bewegten Karussell wahrnehmen kann, nicht mehr davon ausgehen, dass der geradlinig radial wegfliegende Apfel dies ohne Krafteinwirkung tut. Der Apfel behält auch seine "geradlinige Bewegung" nicht bei. Schon nach kurzer Zeit veranlasst die Gravitation, dass der Apfel in einer Kurve sich dem Boden nähert. Damit trifft für diesen Apfel während des gesamten Bewegungsablaufs nicht das erste Axiom von Newton zu. Er verlässt eine kreisförmige Bahn, der man eine Zentripetalkraft zuschreiben muss. Jede Änderung dieser Zentripetalbeschleunigung muss aber nach den drei Axiomen Newtons auch mit dem Auftreten einer zusätzlichen Kraft verbunden sein. Aus diesem Grund kann für den Erwachsenen die Zentrifugalkraft keine Scheinkraft sein, sondern eine real wahrnehmbare und messbare Kraft.
Da sich um uns herum ausnahmslos Zentralkraftsysteme befinden und wir uns selbst in einem Zentralkraft befinden, ist für eine geradlinige Bewegung durch ein Zentralkraftfeld auch immer eine zusätzliche Kraft erforderlich. Wir können demnach das Beharrungsgesetz von Newton nur in einer Näherung physikalisch nachweisen, denn wir werden nirgendwo in unserer erreichbaren Umgebung einen Ort finden, wo wir einen solchen Bewegungsversuch ohne die Einwirkung von Zentralkräften durchführen können. Da wir aber aus elementaren mathematischen Gründen immer genötigt sind, Kurven in hinlänglich kleine gerade Teilabschnitte zu zerlegen, haben wir auch ein grundsätzliches mathematisches Transformationsproblem vor uns, wenn wir mit kartesischen Koordinatensystemen Bewegungen in Zentralkraftsystemen beschreiben wollen. Gegenüber den im Universum vorherrschenden "natürlichen" Zentralkraftsystemen ist das kartesische Koordinatensystem der Mathematik ein "künstliches" Bezugssystem, das wir nur gedanklich errichten können, ohne Kraft zu benötigen. Um ein reales kartesisches Koordinatensystem in einem Zentralkraftfeld wie dem Gravitationsfeld zu errichten, z.B. in Form starrer Stäbe, benötigen wir immer zusätzliche Kräfte, um dieses System entsprechend seiner kartesischen Bestimmung aufrecht erhalten zu können. Dies gilt auch für jede geradlinige Bewegung durch ein Zentralkraftfeld. Nun stellt nicht nur das bewegte Karussell ein Zentralkraftfeld dar. Auch die Erde ist aufgrund ihrer Rotation um die eigene Achse und aufgrund des Gravitationsgesetzes ein Zentralkraftfeld. In der nächsten Instanz haben wir durch die Revolution um die Sonne ein weiteres Zentralkraftfeld und in der Revolution des Sonnensystems um das Zentrum der Milchstrasse ist wieder ein weiteres Zentralkraftfeld vorhanden. Jede geradlinige Bewegung in diesem Konglomerat an Zentralkraftsystemen kann demnach nur durch die Einbringung zusätzlicher Kräfte bewirkt werden. Auch unter dieser Beweisführung ist die für kurze Zeit vom Erwachsenen geradlinig wahrgenommene Bewegung des Apfels in radialer Richtung immer mit dem Auftreten einer zusätzlichen Kraft verbunden, die er nicht der Zentripetalkraft direkt, wohl aber indirekt als reactio zuschreiben kann. Dies gilt auch für jeden Apfel, der aus einer Lage scheinbarer Ruhe geradlinig und radial zum Zentrum der Schwerkraft gerichtet, auf die Erde fällt. Fazit: Jede geradlinige Bewegung und jeder relative Ruhezustand eines Körpers in einem Zentralkraftfeld ist mit dem Auftreten einer Kraft verbunden. Geradlinigkeit und relative Ruhe sind dagegen Eigenschaften, die je nach Bezugssystem unterschiedlich wahrgenommen werden. Demnach sind diese Eigenschaften "scheinbare" Eigenschaften. Aus diesem Grund stellt das Beharrungsgesetz von Newton ein Axiom dar, dass wir nur in seiner Näherung oder in seiner Tendenz verifizieren können: "Jeder Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung, wenn keine Karft auf ihn wirkt." Den Zustand "absoluter Ruhe" können wir aber nicht prüfen und auch nicht herbeiführen. Wir können nur den Zustand relativer Ruhe messen und herbeiführen. In einem Zentralkraftfeld jedoch bedeutet der Zustand relativer Ruhe einer Masse zum Zentralkraftfeld genau das Gegegnteil, nämlich, dass eine Kraft auf diese Masse einwirkt. Deshalb können wir auch nicht aus der reinen Beobachtung von Bewegungen oder Ruhezuständen heraus auf die vorhandenen Impulse, Kräfte und Energien schließen. Die Kinematik ist aufgrund ihrer masse- und kräftelosen Punkte nicht in der Lage, eine vollständige Beschreibung der physikalischen Ereignisse zu liefern. Sie liefert uns nur äußerlich wahrnehmbare Ereignisse, nicht die vollständigen Ereignisse, zu denen auch die inneren Impulse, Kräfte und Energien eines Systems gehören. Deshalb sind alle physikalischen Größen, die nur nach den Spielregeln der Kinematik beschreiben werden physikalischen Größen im Sinne von "Teilgrößen" oder, wenn man so will auch "Scheingrößen".
Wie weit wir uns auch vom Zentrum eines Zentralkraftfeldes entfernen, wir werden das 1. Axiom von Newton nicht wirklich außerhalb der Wirkung eines Zentralkraftfeldes prüfen können. Indem wir in gravitationsschwächeren Raumgebieten die Tendenz dieses Axioms bestätigen können, bleibt der mathematische Grenzfall einer unendlichen Entfernung zum Gravitationszentrum ein infinites theoretisches Ereignis, das wir physikalisch nicht wirklich nachvollziehen können. Damit direkt verbunden, bleibt auch die gleichförmige geradlinige Bewegung eines Körpers ohne Krafteinwirkung ein mathematischer Grenzwert, der sich in der physikalischen Praxis nicht nachvollziehen lässt. Das erste Axiom Newtons beinhaltet deshalb eine Relativierung zu einem mathematischen Grenzfall, der physikalisch nicht beweisbar ist und es beinhaltet auch das elementare Systemproblem mathematischer Beschreibung der Physik, die Realität, dass wir Kurven nicht wirklich als Kurven, sondern immer nur als Polygonzug kleinster geradliniger Teillängen beschreiben können. Damit wird aber auch jede Kurve und jeder Kreis zu einem Grenzwertproblem mit geometrischer Unschärfe. Dies gilt sowohl für die euklidische Geometrie, wie auch für die riemannsche Geometrie.
Bezugssysteme
Ein Beobachter bezieht sich auf seinen Standpunkt. Will er die Position anderer Objekte angeben, muss er ein Koordinatensystem verwenden, in dessen Nullpunkt er sich selbst befindet. Ein solches Koordinatensystem, in dessen Nullpunkt sich ein – realer oder angenommener – Beobachter befindet, heißt Bezugssystem.
Im Bezugssystem des Kindes tritt die Zentripetal- und Zentrifugalkraft auf, es treten also auch Scheinkräfte auf. Im Bezugssystem des Erwachsenen tritt nur die Zentripetalkraft auf, die keine Scheinkraft ist.
Bezugssysteme, in denen keine Scheinkräfte auftreten, nennt man auch Inertialsysteme. Der Erwachsene befindet sich in einem solchen Inertialsystem (wenn man von der sehr kleinen Erdrotation absieht). Das Kind befindet sich nicht in einem Inertialsystem, sondern in einem rotierenden Bezugssystem.
Mathematische Grundlagen
Berechnung
Für einen Körper der Masse m (in kg), der sich im Abstand r (in Meter) mit der Geschwindigkeit v (in Meter pro Sekunde) auf einer Kreisbahn bewegt, ist der Betrag der Zentripetalkraft:
(Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft)
Sie ist nach innen gerichtet. Die Zentrifugalkraft hat den gleich großen Betrag und ist nach außen gerichtet.
Mit der Kreisfrequenz ω ist der Betrag der Geschwindigkeit v = ωr errechenbar, die Zentripetalkraft kann also auch so berechnet werden:
- FZ = mω2r (Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft)
Darstellung als Vektorprodukt
Verwendet man die Vektoren 
für den Abstand und 
für die Winkelgeschwindigkeit, so kann man die Zentripetalkraft mit dem Vektorprodukt darstellen:
(Zentripetalkraft)
Die Zentrifugalkraft ist dieselbe Kraft mit negativem Vorzeichen.
(Zentrifugalkraft)
Zentripetal- und Zentrifugalbeschleunigung
In den Formeln taucht die Masse m als Faktor auf. Ein doppelt so schwerer Körper erfährt daher die doppelte Kraft. Kräfte führen aber wegen Kraft=Masse x Beschleunigung zu Beschleunigungen. Die Beschleunigung auf einer bestimmten Kreisbahn ist für jeden Körper gleich, unabhängig von seiner Masse:
(Zentripetal- und Zentrifugalbeschleunigung)
bzw.
(Zentripetal- und Zentrifugalbeschleunigung)
Rotierende Bezugssysteme
In rotierenden Bezugssystemen treten Zentrifugalkräfte und Zentripetalkräfte als Scheinkräfte auf.
Beobachtung eines ruhenden Körpers aus dem rotierenden Bezugssystem
Ein im ruhenden Bezugssystem (einem Inertialsystem) kräftefreier Körper hat eine konstante Geschwindigkeit. Nimmt man an, dass er dort im Abstand r von der Achse eines rotierenden Bezugssystems ruht, so beschreibt er im rotierenden System einen Kreis mit dem Radius r. Hierzu wäre eine zur Achse gerichtete Zentripetalkraft von der Größe mv2 / r nötig, die der Beobachter im rotierenden System als die Ursache der Kreisbewegung annimmt. Im ruhenden System ist der Körper aber kräftefrei, die Zentripetalkraft ist dort nicht vorhanden. Sie ist daher eine Scheinkraft.
Beobachtung eines mitrotierenden Körpers
Ist der Beobachter im rotierenden System im Abstand rb von der Achse entfernt und hat selbst die Masse mb, so spürt er die Zentrifugalkraft, die ihn nach außen zieht. Er wendet also eine Gegenkraft, die Zentripetalkraft, auf um nicht nach außen zu fliegen. Da er sich als ruhend empfindet, ist die Gesamtkraft für ihn dann Null.
Im ruhenden System ist klar, dass diese Kraft durch die kreisförmige Bewegung mit vb verursacht wird und der Beobachter durch eine Zentripetalkraft 
auf seiner Kreisbahn gehalten wird.
Zusammenfassung
| Beobachter steht, Objekt rotiert | Beobachter rotiert, Objekt steht | Beobachter rotiert, Objekt rotiert mit | |
|---|---|---|---|
| Kräfte am Objekt aus der Sicht des Beobachters | Zentripetalkraft Zentrifugalkraft aufgrund der Trägheit des Objekts | scheinbare Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft | keine |
| tatsächliche Kräfte am Objekt | Zentripetalkraft Zentrifugalkraft aufgrund der Trägheit des Objekts | keine | Zentripetalkraft Zentrifugalkraft aufgrund der Trägheit des Objekts |
| Scheinkraft | nein | ja | - |
| Inertialsystem | ja | nein | nein |
Beobachtung eines bewegten Körpers aus dem rotierenden Bezugssystem
Ein kräftefreier Körper bewegt sich im ruhenden Bezugssystem geradlinig. Der Abstand r zur Achse eines rotierenden Systems ändert sich also. Der rotierende Beobachter nimmt wie beim ruhenden Körper eine sich nun aber ändernde Zentripetalkraft zur Drehachse an.
Zusätzlich tritt jedoch eine Ablenkung quer zur Bewegungsrichtung auf. Diese rührt daher, dass der Körper im rotierenden System verschiedene Geschwindigkeitsbereiche durchläuft. Nach außen wird die Umlaufgeschwindigkeit immer größer. Entfernt sich der Körper von der Drehachse, so müsste er in Drehrichtung beschleunigt werden, um "mithalten" zu können. Er bleibt also gegenüber dem Bezugssystem zurück. Der rotierende Beobachter nimmt eine Beschleunigung entgegen der Drehrichtung war, deren Ursache er auf eine Kraft, die Corioliskraft zurückführt. Diese ist also der Drehrichtung entgegengesetzt.
Nähert sich der Körper der Drehachse, müsste er entsprechend abgebremst werden. Hier wirkt die Corioliskraft also in Drehrichtung.
Siehe auch: Reißlänge