Zufall

Man spricht von Zufall, wenn ein Ereignis nicht notwendig oder nicht beabsichtigt auftritt. Umgangssprachlich bezeichnet man ein Ereignis auch als zufällig, wenn es nicht absehbar, vorhersagbar oder berechenbar ist. Zufälligkeit und Unberechenbarkeit oder Unvorhersagbarkeit sind jedoch nicht dasselbe.

Als zufällig gelten Ereignisse wie eine Augenzahl beim Würfeln oder das Ergebnis eines Münzwurfs, jedenfalls wenn eine Manipulation ausgeschlossen wurde.

Eine systematische Untersuchung des Phänomen Zufall geschieht

Inhaltsverzeichnis
1 Was ist Zufall?
2 Zufallsprozesse in der Welt
3 Zufall quantitativ
4 Beispiel eines Zufallsexperimentes
5 Zufall und Gerechtigkeit
6 Zufall und freier Wille
7 Einige wichtige Basisaussagen über den Zufall
8 Zufallsgeneratoren
9 Literatur

9.1 Klassische Werke zum Thema Zufall

10 Siehe auch
11 Weblinks

Was ist Zufall?

Eine Anmerkung zur Vorsicht: Schon die umgangssprachliche Formulierung wie "etwas zufällig Geschehenes hatte keine bekannte Ursache" impliziert eine deterministische Denkweise, denn man nimmt an, dass alles eine Ursache haben müsse. Daher wird das Wesen des Zufalls am besten im Zusammenhang mit Überlegungen zur Kausalität beleuchtet.

Zufall könnte man allerdings auch anders definieren: Zufall ist dann vorhanden, wenn nur aufgrund der Anfangsbedingungen keine Aussage darüber zu machen ist, was geschieht, bzw. wenn bei exakt gleichen Ausgangsbedingungen nicht immer das gleiche passiert. In der Realität lassen sich allerdings keine solchen Versuche durchführen, denn es ist unmöglich, die exakt gleichen Vorraussetzungen wieder zu rekonstruieren (denn das würde eigentlich auch die Zeit implizieren...). Deshalb ist beispielsweise die Frage, ob es Zufälle denn gibt (ob Zufall überhaupt [ist]), eine mehr physikalische oder philosophische.

Zufallsprozesse in der Welt

Die Naturwissenschaften versuchen herauszufinden, ob unsere Welt im innersten deterministisch oder zufällig ist. Man will wissen, ob ein Ereignis zufällig ist, weil der Beobachter nicht genügend Daten hatte, um eine exakte Vorhersage zu machen, oder ob das beobachtete System in sich zufällig ist. Beide Arten von Systemen lassen sich mathematisch modellieren.

Die erste Art von Systemen sind solche, in denen angenommen wird, dass das Ergebnis eines Experiments bei festen Bedingungen immer gleich sein muss, und dass die auftretenden Variationen des Ergebnisses auftreten, weil der Beobachter das System nicht genau genug kontrolliert hat. Solche Systeme werden als deterministisch angesehen.

Es ist heute bekannt, dass (theoretisch exakt) deterministische Systeme unvorhersagbares Verhalten zeigen können. Solche Systeme werden in der Chaostheorie untersucht.

Die Quantenphysik hat eine neue Diskussion darüber ausgelöst, ob die Welt fundamental deterministischen oder fundamental zufälligen Prinzipien gehorcht. Die akzeptierte Interpretation der Quantentheorie sagt, dass identische Experimente unterschiedliche Ergebnisse haben können. Das beste Beispiel hierfür ist der radioaktive Zerfall. Es ist keine Möglichkeit bekannt, den Zerfallszeitpunkt eines instabilen Atomkernes vorherzusagen. Über eine große Anzahl von Atomkernen dagegen lassen sich statistische Vorhersagen treffen.

Es gibt Wissenschaftler, die Alternativen (etwa verborgene Variablen) vorschlagen, um doch noch eine deterministische Welt zu beschreiben.

Daneben gibt es die Möglichkeit, aus mikroskopischen Theorien, die zufällig erscheinen, makroskopische Theorien aufzubauen, die (quasi)deterministisch sind.

Wenn man die drei Basisbegriffe der heutigen Naturwissenschaften Stoff (= Materie), Strahlung (= Energie) und Struktur (= Information) betrachtet, kann man fragen, wie der Begriff Struktur in weitere Subkategorien untergliedert werden kann.

Die erste und wichtigste Unterteilung der Struktur ist dann die Unterscheidung zwischen Zufallsstruktur und geordneter Struktur oder auch zwischen Zufallsinformation und nicht zufälliger Information.

Basisbegriffe der Natur- und Strukturwissenschaften 

Materie ------------  Energie 
    \                     /
     \                   /
      \                 /
       \               /
           Information 
               /\
              /  \
             /    \
            /      \
           /        \
  Zufalls-          geordnete Information
  Information

Zufall quantitativ

In der formalen Welt der Mathematik lassen sich abstrakte Strukturen definieren, die aus der menschlichen Vorstellung beziehungsweise Erwartung von Zufall motiviert sind. Glücksspiele motivierten die ersten mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorien und werden auch heute noch oft zu ihrer Illustration eingesetzt.

Die folgenden Begriffe sind zentral zur formalen Beschreibung des Zufalls:

(Zufalls)experiment: Die durchgeführten und/oder beobachteten Vorgänge (beispielsweise zweimaliges Werfen eines Würfels).
Ergebnis oder Elementar-Ereignis: Beobachtung (beispielsweise erster Wurf '3', zweiter Wurf '5').
Ereignis: Aus Elementarereignissen zusammengesetze Menge (das Ereignis "gerade Zahl gewürfelt" ist aus den Elementarereignissen "2,4 oder 6 gewürfelt" zusammengesetzt).
Wahrscheinlichkeit: Jedem Elementarereignis wird ein Zahlenwert zwischen 0 (tritt nie ein) und 1 (tritt immer ein) zugeordnet (beispielsweise Gleichverteilung: Die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl auf dem Würfel ist gleichgroß, nämlich 1/6). Bei einem Kontinuum möglicher Ergebnisse spricht man von einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Offensichtlich sind nur solche Zufallsexperimente interessant, die mehr als ein mögliches Ergebnis haben.

Die Statistik versucht, zu einem gegebenen Zufallsexperiment die zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsverteilung zu ermitteln.

Beispiel eines Zufallsexperimentes

Die Stufen eines Zufallsexperiments sind

  1. Vor dem Experiment: Mindestens 2 Ergebnisse sind möglich, es ist aber noch nichts entschieden.
  2. Das Zufallsexperiment wird durchgeführt.
  3. Aus den mindestens 2 möglichen Ergebnissen wurde eines zufällig ausgewählt.

Das einfachste Zufallsexperiment hat zwei mögliche Ergebnisse, die die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.

Man kann mit einer Münze diese Art von Zufallsexperiment durchführen und selber Zufallszahlen erzeugen. Dabei ordnet man der einen Seite der Münze die Zahl 0, der anderen die Zahl 1 zu. Durch Notieren vieler Wurfergebnisse erhält man eine Folge von 0 und 1. Eine solche Folge ist das Ergebnis eines sehr einfachen Zufallsprozesses.

Die so erhaltenen Zufallsfolgen von 0 und 1 sind leicht statistisch untersuchbar. Dabei kann man Eigenschaften dieser Zufallsfolgen feststellen, die bei nicht-zufälligen Folgen (also Folgen, die deterministisch nach irgendeinem Gesetz ermittelt werden) nicht auftreten. Auf diese Weise kann man Zahlenfolgen auf echte Zufälligkeit prüfen.

Auffällige statistische Abweichungen von reinen Zufallsfolgen können zum Beispiel verwendet werden, um wissenschaftliche Fälschungen zu enttarnen, da Messungen stets auch einen zufälligen Messfehler beinhalten, während erfundene Zufallsfehler oft gerade durch den Versuch, sie möglichst zufällig erscheinen zu lassen, deutliche Abweichungen vom Zufallsergebnis enthalten.

Je länger eine Zahlenfolge ist, desto klarer kann unterschieden werden, ob es sich um eine zufällige oder nicht zufällige Folge handelt. Theoretisch kann auch ein Zufallsexperiment eine Folge von hundert Nullen hintereinander liefern, nur ist das so unwahrscheinlich, dass man in diesem Fall mit gutem Recht von einer Regelmäßigkeit ausgehen darf. Auf der anderen Seite gibt es deterministische Algorithmen, deren Ergebnisse sehr ähnlich denen eines Zufallsexperiments sind, so genannte Pseudozufallsgeneratoren. Bei guten Pseudozufallsgeneratoren braucht man eine sehr lange Zahlenreihe, um den Unterschied zum echten Zufall erkennen zu können. In der Informatik werden gelegentlich Zufallszahlen benötigt. Der Versuch, sie mit dem Computer zu berechnen, ist ein Widerspruch in sich.

Eine Folge, die die Realität abbildet, ist nicht immer rein deterministisch oder rein zufällig, sondern es liegt häufig eine Mischung aus beidem vor. Ein einfaches Beispiel wäre, wenn man beispielsweise stets eine Ziffer per Münzwurf bestimmt, die nächste als den Unterschied zwischen den beiden vorhergehenden Ziffern, dann wieder Münzwurf, und so fort. Durch Untersuchung solcher Folgen bekommt man ein recht gutes Verständnis für den Zufall und die Mischung von Zufälligem und Nichtzufälligem, wie es ja oft in der Realität anzutreffen ist.

Ein elementares Zufallsereignis beruht auf Gleichheit und Ungleichheit

(Münze: beide Seiten müssen mit derselben Wahrscheinlichkeit auftreten können, trotzdem müssen beide Seiten verschieden geprägt (beziehungsweise gefärbt etc.) sein, sonst könnte man sie nicht unterscheiden.)

Zufall und Gerechtigkeit

thumb|left|200px|Aufgabe: Verteile 11 Münzen an 10 Schweinchen. thumb|right|200px|Verteilt so der Zufall 11 Münzen auf 10 Schweinchen?

Die Natur kennt keine Gerechtigkeit, der Zufall auch nicht.

Ein Beispiel:
Wir möchten 11 Münzen auf 10 Schweinchen verteilen. Wie stellen wir es an?

1) Wir geben fast jedem eine Münze. Aber warum bekommt ein Schweinchen zwei?
thumb|right|200px|So verteilt der Zufall: Einer bekommt sehr viel (drei Münzen), zwei bekommen viel (zwei Münzen), und vier bekommen etwas (eine Münze). 30% gehen leer aus. 2) Würfeln wir und lassen den Zufall entscheiden, ist folgende Verteilung die wahrscheinlichste (siehe Binomialverteilung):

Es ist die Aufgabe einer Gesellschaft, ein System zu finden, das Härten ausgleicht und von möglichst allen akzeptiert wird.

Zufall und freier Wille

Zwischen den Begriffen Zufall und freier Wille existiert ein enger Zusammenhang. Man kann argumentieren, dass eine freie Entscheidung eine Entscheidung ist, die zumindest teilweise nicht von anderen Einflüssen (innerer und äußerer Art) bestimmt wird. Sie ist also nicht determiniert. Dies kann aber gerade auch als Definition von Zufall angesehen werden. Nach dieser Auffassung kann es in einem Universum ohne Zufall keinen freien Willen geben, da jede Entscheidung bei Kenntnis aller Einflussgrößen vorhergesagt werden könnte.

Es ist nun eine Aufgabe der Philosophie, Gemeinsamkeiten und Unterschiede beider Begriffe genauer herauszuarbeiten. Der englische Begriff random number (wörtlich: freie Zahl) für Zufallszahl weist auf diesen Zusammenhang hin.

Einige wichtige Basisaussagen über den Zufall

Zufallsgeneratoren

Solche können zum Beispiel sein: Münze, Würfel, Roulette, Urne oder Reißnagel

Spiele mit dem Zufall? - Beispiel: Stichomantie

Literatur

Klassische Werke zum Thema Zufall

Siehe auch

Weblinks

20px Wikiquote: Zitate zu Zufall


See also: Zufall, Aristoteles, Atomkern, Berechenbarkeit, Binomialverteilung, Chance, Chaostheorie, Computer, Determinismus